数学第7章

資料の活用

問題編

度数分布・代表値（中1範囲）

① 導入

この章では、集めたデータ（資料）を表やグラフに整理し、平均値・中央値・最頻値といった「代表値」を使って特徴をつかむ方法を学びます。

アンケート結果やテストの点数など、身近なデータを整理する力は、理科の実験結果の読み取りにもつながります。

小学校の橋渡し

平均＝合計÷個数は小学校の公式です。表の見出しと単位を先に読むこと。最頻値・中央値は「どの代表値か」を取り違えないようにします。

② 基本概念

度数分布表とヒストグラム

データをいくつかの区間（階級）に分け、各階級に入るデータの個数（度数）をまとめた表を度数分布表といいます。これを柱状のグラフで表したものがヒストグラムです。

階級のちょうど真ん中の値を階級値といい、階級の幅がすべて同じであることが基本です。

相対度数・累積度数

相対度数 = その階級の度数 ÷ 度数の合計
累積度数 = その階級までの度数を合計したもの

相対度数の合計は、必ず1（100%）になります。

代表値

平均値：データの合計 ÷ データの個数
中央値（メジアン）：データを大きさの順に並べたときの中央の値。データの個数が偶数のときは、中央の2つの値の平均。
最頻値（モード）：データの中で最も多く出てくる値（度数分布表では度数が最も多い階級の階級値）。

データに極端に大きい・小さい値（外れ値）があると、平均値は影響を受けやすいですが、中央値は影響を受けにくいという特徴があります。

範囲（レンジ）

範囲 = 最大値 − 最小値

③ 図解

ヒストグラムのイメージ

 度数
 12│         ■■■
  9│      ■■■■■
  7│         ■■■■■■
  4│   ■■■■
  3│                  ■■■
   └──┴───┴───┴───┴───┴── 時間
     0  5  10  15  20  25

基準となる読書時間の度数分布表

階級（時間）	階級値	度数（人）
0以上〜5未満	2.5	4
5〜10	7.5	9
10〜15	12.5	12
15〜20	17.5	7
20〜25	22.5	3

中学1年生35人の1か月の読書時間を調べた結果（合計35人）。以降の問題で使用します。

④ 例題

例1

次のデータの平均値を求めなさい。

3, 5, 5, 8, 9

例2

上のデータの中央値を求めなさい。

例3

上のデータの最頻値を求めなさい。

例4

上のデータの範囲（レンジ）を求めなさい。

例5

度数の合計が40人で、あるクラスの度数が8人であるとき、その階級の相対度数を求めなさい。

⑤ 基本問題

まず小学校の復習を2問。平均の求め方です。

復習1

3, 7, 8 の平均を求めよ。

復習2

5人のテストの点数の合計が350点のとき、平均点は何点か。

ここから③の読書時間の度数分布表を使って答えなさい。

階級「10〜15」の階級値を求めよ。

度数の合計が35人で、階級20〜25の度数が3人、他の階級の度数が4, 9, 12, 7人のとき、5階級すべての度数の合計は35人と一致するか選べ。

度数が最も多い階級を答えよ。

階級「5〜10」の相対度数を、小数第2位まで求めよ。

次のデータの平均値を求めよ。

4, 6, 6, 7, 10, 15

上のデータの中央値を求めよ。

上のデータの最頻値を求めよ。

上のデータの範囲を求めよ。

⑥ 標準問題

③の読書時間の度数分布表を使って答えなさい。

階級「15〜20」までの累積度数を求めよ。

階級値を用いて、読書時間の平均値の近似値を、小数第1位まで求めよ。

答え（時間）：

次のデータについて、平均値・中央値・最頻値をそれぞれ求めよ。

2, 3, 3, 3, 5, 20

平均値：

中央値：

最頻値：

読書時間の度数分布表の階級の幅（階級の大きさ）を答えよ。

相対度数の合計は、必ずいくつになるか答えよ。

⑦ 応用・実力テスト形式

実力テスト後半のコツ（作問定規）

⑤はドリル、⑥は例題1〜2段、⑦は定期テスト後半の複合・記述。外部サイトは物差しのみ（転載しない）。度数分布表の問題は、まず度数の合計が問題文の人数と一致するか確認する。平均値の近似は「階級値×度数」の合計を人数で割る。2つの集団を比較するときは、平均値・中央値の階級・相対度数のうち少なくとも2つを根拠にして書くと説得力が上がる。

A組35人の読書時間の代表値は、平均値11.9時間、中央値の階級は10〜15である。 B組40人の読書時間は、平均値10.2時間、中央値は9時間であった。どちらの組の方が読書時間が長い傾向にあると考えられるか、代表値を根拠にして説明せよ。

あるクラス5人の欠席日数を、5日を基準として、それぞれ +3, −2, +4, −3, +3（日）と記録した。 5人の欠席日数の平均を求めよ。

答え（日）：

あるお菓子の袋を50個調べたところ、不良品が3個あった。この割合（相対度数）を求めよ。また、同じ割合で不良品が発生すると考えると、400個の中には何個の不良品が含まれると考えられるか。

相対度数：

400個中の不良品数（個）：

読書時間の度数分布表（35人）で、中央値はどの階級に含まれるか、累積度数を使って説明し、その階級を答えよ。

答え：

下の度数分布表は、1年A組31人が受けた小テスト（50点満点）の得点をまとめたものである。次の問いに答えよ。

階級（点）	階級値	度数（人）
0以上〜10未満	5	2
10〜20	15	5
20〜30	25	9
30〜40	35	9
40〜50	45	6

合計31人。以降の問題（19番）でも使用します。

(1) 階級値を用いた平均値の近似値（小数第1位まで）：

(2) 中央値が含まれる階級：

(3) 階級「30〜40」の相対度数（小数第2位まで）：

同じ小テストをB組30人も受けた。B組の代表値は、平均値31.5点、中央値の階級は30〜40、階級「40〜50」の相対度数は0.30であった。18番のA組の結果（平均値28.9点、中央値の階級20〜30、階級「40〜50」の相対度数は6÷31）と比較して、どちらの組の方が得点が高い傾向にあると考えられるか。代表値と相対度数のうち、少なくとも2つを根拠にして説明せよ。

⑧ 確認テスト

制限時間：25分　／　満点：100点（各20点×5問）

次のデータの平均値を求めよ。

5, 8, 8, 10, 14

上のデータの中央値を求めよ。

上のデータの最頻値を求めよ。

度数分布表で、階級「30〜40」の相対度数が0.25、全体の人数が60人のとき、この階級の度数を求めよ。

あるクラス8人の小テストの点数を、10点を基準として、それぞれ +3, −2, +4, 0, −1, +2, −3, +1（点）と記録した。 8人の点数の平均を求めよ。

答え（点）：

⑨ 完全解説

問題編の解答・解説は解説編を参照してください。

代表値の問題は、平均値だけでなく中央値・最頻値も含めて答える練習をしておくと、記述問題にも対応しやすくなります。