数学 第6章
空間図形
要点編
立体の表面積・体積の基本
ここは参考書パート（要点編）です。市販参考書と同じく「読んで理解 → 例題で流れを追う → チェック」の順で進めてください。理解チェックができたら問題編へ。
① この章のねらい
空間図形では、角柱・角錐・円柱・円錐・球などの立体を、面・辺・頂点の数、展開図、投影図で捉える。表面積は展開図の面積の合計として求め、体積は角柱・円柱が「底面積×高さ」、角錐・円錐がその1/3であることを使う。円錐の側面がおうぎ形になる点が、表面積を求める計算のポイントになる。
- 立体の種類と特徴を説明できる
- 展開図・投影図を読み書きできる
- 角柱・円柱の表面積・体積を求められる
- 角錐・円錐の表面積・体積を求められる
- 球の表面積・体積を求められる
- 小学校で学んだ直方体・立方体の体積の求め方を復習しよう
- 円の面積・円周の公式をもう一度確認しよう
- 単位の変換（cm³→m³など）を復習しよう
- 見取図・展開図の読み取りを小学校の内容から復習しよう
② 重要ポイント（本文）
1.立体の分類
平面だけで囲まれた立体を多面体という。角柱・角錐は多面体で、円柱・円錐・球は曲面を含む立体（回転体）である。
2.角柱・角錐の面・辺・頂点
角柱には2つの合同な底面と、底面の数と同じ数の側面がある。角錐には1つの底面と、底面の頂点の数と同じ数の側面（三角形）がある。
3.展開図
立体の表面を切り開いて平面上に広げた図を展開図という。同じ立体でも切り開き方によって展開図の形は変わる。
4.投影図
立体を正面から見た図を立面図、真上から見た図を平面図といい、この2つを組にした図を投影図という。
5.角柱・円柱の表面積
表面積は、底面2つの面積と側面の面積の合計で求める。円柱の側面は長方形になり、その横の長さは底面の円周に等しい。
6.角柱・円柱の体積
角柱・円柱の体積は、底面積に高さをかけて求める。
7.角錐・円錐の体積
角錐・円錐の体積は、底面積に高さをかけたものの1/3になる。底面が同じで高さが同じ角柱・円柱の1/3の体積である。
8.円錐の側面と表面積
円錐の側面を展開すると、半径が母線の長さのおうぎ形になる。表面積は、このおうぎ形（側面）の面積と、底面の円の面積の合計で求める。
9.球の表面積・体積
球の表面積・体積は決まった公式で求める。半径がrの球の表面積は4πr²、体積は(4/3)πr³である。
③ 公式・用語
| 名称 | 内容 | メモ |
|---|---|---|
| 角柱・円柱の体積 | V＝Sh（Sは底面積、hは高さ） | — |
| 角錐・円錐の体積 | V＝(1/3)Sh | — |
| 円錐の側面積 | πrl（rは底面の半径、lは母線の長さ） | — |
| 球の表面積 | S＝4πr² | — |
| 球の体積 | V＝(4/3)πr³ | — |
用語集
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| 角柱 | 2つの合同な多角形の底面をもつ立体 |
| 角錐 | 1つの多角形の底面と1つの頂点をもつ立体 |
| 円柱 | 2つの合同な円の底面をもつ立体 |
| 円錐 | 1つの円の底面と1つの頂点をもつ立体 |
| 展開図 | 立体の表面を切り開いた平面図 |
| 投影図 | 立面図と平面図を組にした図 |
| 母線 | 円錐の頂点から底面の円周までの線分 |
| 回転体 | 平面図形を1つの直線を軸として回転させてできる立体 |
④ 解法・読み方の手順
角柱・円柱の表面積を求める手順
- 底面の面積を求める
- 側面の面積（展開したときの長方形など）を求める
- 底面2つ分と側面の面積を合計する
円錐の表面積を求める手順
- 底面の円の面積を求める
- 側面のおうぎ形の面積（πrl）を求める
- 2つを合計する
⑤ 図解
円柱の展開図 上下：円（底面）×2 側面：長方形（横の長さ＝底面の円周）
円錐の展開図 底面：円 側面：おうぎ形（半径＝母線の長さ）
⑥ 例題（読んで流れを追う）
ここは「解く」より「途中式と根拠を追う」ための例です。演習は問題編で。
底面が半径3cmの円、高さ8cmの円柱の体積を求めなさい。
考え方・途中式
V=π×3²×8=9π×8=72π。
答え：72πcm³
底面の半径3cm、高さ8cmの円柱の表面積を求めなさい。
考え方・途中式
側面2π×3×8=48π、底面2つ2×9π=18π。合計48π+18π=66π。
答え：66πcm²
底面が縦4cm横5cm、高さ6cmの四角柱の体積を求めなさい。
考え方・途中式
V=4×5×6=120。
答え：120cm³
底面の半径3cm、高さ4cmの円錐の体積を求めなさい。
考え方・途中式
V=(1/3)×π×3²×4=(1/3)×36π=12π。
答え：12πcm³
半径6cmの球の表面積と体積を求めなさい。
考え方・途中式
S=4π×6²=144π。V=(4/3)π×6³=(4/3)π×216=288π。
答え：表面積144πcm²、体積288πcm³
⑦ 模試・定期テストでの使い方
外部過去問（JS88・リセマム等）の使い分けは過去問・外部資料ガイドを参照。
- 模試・定期テストでは、角錐・円錐の体積の問題は「1/3をかけたか」を計算の最後にもう一度確認する。
- 円柱・円錐の側面の長さは、必ず底面の円周（2πr）から求める。
- 表面積の問題は、底面がいくつあるか（角柱・円柱は2つ、角錐・円錐は1つ）を先に確認する。
- 球の公式は係数（4、4/3）を書き間違えやすいので、公式集を見ながら1回書いて確認する。
- 空間図形は005net「立体の表面積・体積」で単位を意識。
- ⑤＝ちびむす/手鏡相当 ⑥＝005net例題相当 ⑦＝中1定期後半相当（本アプリ）
- ⑦は中1定期テスト後半相当：条件整理・複合計算・記述を必須にする
- 作問時はちびむす/手鏡（⑤）・005net例題（⑥）の密度を定規に合わせる
⑧ よくあるミス
- 角錐・円錐の体積で1/3を掛け忘れる
- 円柱の側面積を「円周×高さ」ではなく「半径×高さ」で計算してしまう
- 円錐の側面のおうぎ形の半径（母線）と底面の半径を混同する
- 球の表面積・体積の公式の係数（4/3、4）を取り違える
- 角柱・円柱の底面を1つだけ数えて表面積を求める
- 立面図と平面図を取り違える
⑨ 理解チェック
口頭でもノートでもよいので、全部言えたら問題編へ。
- 立体の種類（角柱・角錐・円柱・円錐・球）を区別できる
- 展開図を読み書きできる
- 投影図を読み書きできる
- 角柱・円柱の表面積を求められる
- 角柱・円柱の体積を求められる
- 角錐・円錐の体積を求められる
- 円錐の側面積を求められる
- 球の表面積・体積を求められる