数学第7章

空間図形

要点編

立体の表面積・体積の基本

まず①の図で構造を掴み、つづく②の要点本文で意味・手順・注意を読む。 ⑤の例題は、②で説明した内容だけを確認するためのものです。説明していない解法は出しません。

この章でできるようになること

立体の種類と特徴を説明できる
展開図・投影図を読み書きできる
角柱・円柱の表面積・体積を求められる
角錐・円錐の表面積・体積を求められる
球の表面積・体積を求められる

小学校の橋渡し（必要なら開く）

小学校で学んだ直方体・立方体の体積の求め方を復習しよう
円の面積・円周の公式をもう一度確認しよう
単位の変換（cm³→m³など）を復習しよう
見取図・展開図の読み取りを小学校の内容から復習しよう

① 図で構造を掴む

図の日本語ラベルで全体の関係を先に見てください。細部の意味・使い方は②の本文で説明します。

② 要点（本文）

この章の学習内容はここが本体です。例題・問題編は、ここで読んだ内容を使う練習です。

1.立体の分類

平面だけで囲まれた立体を多面体という。角柱・角錐は底面が多角形の多面体である。円柱・円錐・球は曲面を含む立体で、平面図形を1本の直線を軸に回転させてできる回転体でもある。立体の名前は底面の形（四角形なら角柱・角錐、円なら円柱・円錐）で決まる。分類を正しくすると、展開図や体積の公式を選びやすくなる。名前と公式を対応させて覚える。

2.角柱・角錐の面・辺・頂点

角柱には合同な2つの底面と、底面の辺の数と同じ数の側面（長方形）がある。三角柱なら5面8辺6頂点、四角柱なら6面12辺8頂点である。角錐には1つの底面と、底面の頂点の数と同じ数の側面（三角形）があり、すべての側面が1つの頂点で集まる。面・辺・頂点の数を数える問題では、底面の形を先に確認する。底面の辺の数が側面の数を決める。

3.展開図

立体の表面を切り開いて平面上に広げた図を展開図という。同じ立体でも切り開き方によって展開図の形は異なる。展開図を組み立てると元の立体に戻る。表面積を求めるときは展開図の各面の面積を足す考え方が基本である。展開図から立体を想像できないと表面積の計算で面の形を取り違えるので、どの面が底面・側面かを確認する。

4.投影図

立体を正面から見た図を立面図、真上から見た図を平面図という。この2つを組にした図を投影図という。投影図から立体の形を読み取ったり、立体から投影図を書いたりする。立面図と平面図を取り違えると立体の高さや幅を誤る。見えない辺は点線で表す場合がある。2つの図を合わせて立体を想像する練習が大切である。見取図と混同しない。

5.角柱・円柱の表面積

角柱・円柱の表面積は、底面2つの面積と側面の面積の合計で求める。円柱の側面を展開すると長方形になり、その横の長さは底面の円周2πr、縦の長さは高さhである。よって側面積は2πrh、底面2つで2πr²、表面積は2πr²+2πrh=2πr(r+h)となる。底面が2つあることを忘れない。側面の横の長さを半径rのまま使う誤りに注意する。

6.角柱・円柱の体積

角柱・円柱の体積はV=Sh（Sは底面積、hは高さ）で求める。底面が半径3cmの円、高さ8cmの円柱ならV=π×3²×8=72πcm³である。四角柱ならV=縦×横×高さとなる。体積の単位はcm³（立方センチメートル）である。底面積と高さを混同しない。高さは底面に垂直な方向の長さである。直方体の体積の延長として覚える。

7.角錐・円錐の体積

角錐・円錐の体積は、底面積×高さ÷3、すなわちV=(1/3)Shで求める。底面・高さが同じ角柱・円柱の体積のちょうど1/3になる。底面の半径3cm、高さ4cmの円錐ならV=(1/3)×π×3²×4=12πcm³である。1/3をかけ忘れる誤りが最も多いので、角錐・円錐の問題では計算の最後に必ず確認する。

8.円錐の側面と表面積

円錐の側面を展開すると、半径が母線l（頂点から底面の円周上の点までの長さ）のおうぎ形になる。側面積はπrl、底面の円の面積はπr²なので、表面積はπr²+πrl=πr(r+l)である。母線lと底面の半径rは一般に異なる。側面のおうぎ形の半径に底面の半径rを使ってしまう誤りに注意する。展開図を描いて確認する。

9.球の表面積・体積

半径rの球の表面積はS=4πr²、体積はV=(4/3)πr³である。球は回転体の一種で、中学1年で扱う立体の公式の中で最も係数（4、4/3）を間違えやすい。公式を書くときはSとVで係数が異なることを確認する。半径を2乗するか3乗するかも取り違えやすいので、表面積はr²、体積はr³と覚える。公式集で係数を確認してから計算する。

③ 公式・用語

名称	内容	メモ
角柱・円柱の体積	`V＝Sh（Sは底面積、hは高さ）`	—
角錐・円錐の体積	`V＝(1/3)Sh`	—
円錐の側面積	`πrl（rは底面の半径、lは母線の長さ）`	—
球の表面積	`S＝4πr²`	—
球の体積	`V＝(4/3)πr³`	—

用語	意味
角柱	2つの合同な多角形の底面をもつ立体
角錐	1つの多角形の底面と1つの頂点をもつ立体
円柱	2つの合同な円の底面をもつ立体
円錐	1つの円の底面と1つの頂点をもつ立体
展開図	立体の表面を切り開いた平面図
投影図	立面図と平面図を組にした図
母線	円錐の頂点から底面の円周までの線分
回転体	平面図形を1つの直線を軸として回転させてできる立体

④ 解く手順

角柱・円柱の表面積を求める手順

底面の面積を求める
側面の面積（展開したときの長方形など）を求める
底面2つ分と側面の面積を合計する

円錐の表面積を求める手順

底面の円の面積を求める
側面のおうぎ形の面積（πrl）を求める
2つを合計する

定期・実力テストで点にする手順

学校ワークを1周し、わからない問に×、あやしい問に△の印をつける
印の問題だけを答えを見ずに2周目する（ここが得点に直結する）
本アプリの⑦で条件整理・記述・複合を練習する
ミスを知識不足／読み違い／ケアレス／時間不足に分け、対策を変える

⑤ 例題（②の確認）

各例題は②で説明したルール・手順だけを使います。解けないときは答えを見る前に、②の該当項目へ戻ってください。

例題 1基本

問

底面が半径3cmの円、高さ8cmの円柱の体積を求めなさい。

考え方・答えを見る

まずV=π×3²×8=9π×8=72π。

答え：72πcm³

例題 2基本

問

底面の半径3cm、高さ8cmの円柱の表面積を求めなさい。

考え方・答えを見る

まず側面2π×3×8=48π、底面2つ2×9π=18π。次に合計48π+18π=66π。

答え：66πcm²

例題 3標準

問

底面が縦4cm横5cm、高さ6cmの四角柱の体積を求めなさい。

考え方・答えを見る

まずV=4×5×6=120。

答え：120cm³

例題 4標準

問

底面の半径3cm、高さ4cmの円錐の体積を求めなさい。

考え方・答えを見る

まずV=(1/3)×π×3²×4=(1/3)×36π=12π。

答え：12πcm³

例題 5応用

問

半径6cmの球の表面積と体積を求めなさい。

考え方・答えを見る

まずS=4π×6²=144π。次にV=(4/3)π×6³=(4/3)π×216=288π。

答え：表面積144πcm²、体積288πcm³

⑥ 模試・定期テストでの使い方

この単元で点を取るための使い方です。計画の全体像は得点アップの技術も併せて確認してください。

学力向上テクニック（数学）

公式を暗記する前に、例題を自力で考え、詰まったら解説で「なぜその式か」を確認する。
途中式は1行1操作。答えのあとに符号・単位・「何を求めたか」を短時間で見直す。
文章題は未知数を「求めたい量」にそろえてから立式し、求めた値を元の条件に代入して検算する。
角錐・円錐の体積は 1/3 をかけたか確認する。
側面は底面の円周から求める。底面の枚数を先に数える。

全体の計画の立て方は得点アップの技術を見てから、この章の問題編へ進みましょう。

角錐・円錐の体積は 1/3 をかけたか確認する。
側面は底面の円周から求める。底面の枚数を先に数える。
投影図は正面図・平面図の形から柱・錐を見分ける。
模試・定期テストでは、角錐・円錐の体積の問題は「1/3をかけたか」を計算の最後にもう一度確認する。
円柱・円錐の側面の長さは、必ず底面の円周（2πr）から求める。
表面積の問題は、底面がいくつあるか（角柱・円柱は2つ、角錐・円錐は1つ）を先に確認する。
球の公式は係数（4、4/3）を書き間違えやすいので、公式集を見ながら1回書いて確認する。
公式を暗記する前に、例題を自力で考え、詰まったら解説で「なぜその式か」を確認する。

⑦ よくあるミス

角錐・円錐の体積で1/3を掛け忘れる
円柱の側面積を「円周×高さ」ではなく「半径×高さ」で計算してしまう
円錐の側面のおうぎ形の半径（母線）と底面の半径を混同する
球の表面積・体積の公式の係数（4/3、4）を取り違える
角柱・円柱の底面を1つだけ数えて表面積を求める
立面図と平面図を取り違える

⑧ 理解チェック

立体の種類（角柱・角錐・円柱・円錐・球）を区別できる
展開図を読み書きできる
投影図を読み書きできる
角柱・円柱の表面積を求められる
角柱・円柱の体積を求められる
角錐・円錐の体積を求められる
円錐の側面積を求められる
球の表面積・体積を求められる

⑨ 問題編へ

「空間図形」の②の要点が頭に入ったら、問題編で手を動かしましょう。

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