数学 第6章
空間図形
問題編
立体の表面積・体積の基本
① 導入
この章では、角柱・角錐・円柱・円錐・球という基本の立体について、表面積と体積の求め方を学びます。 立体を「展開図」や「投影図（正面から見た図・上から見た図）」で表す見方も身につけます。
直方体の体積＝縦×横×高さ、展開図の考え方は小学校で学んでいます。中学では円柱なども足しますが、まずは直方体・立方体で確実に得点しましょう。
② 基本概念
直線と平面の位置関係
空間内の2直線の関係には、交わる・平行・ねじれの位置（交わらず平行でもない）の3種類があります。
立体の種類
底面が2つで側面が長方形（または平行四辺形）の柱体を角柱、底面が1つで側面が三角形に集まる錐体を角錐といいます。底面が円のとき、それぞれ円柱・円錐といいます。
体積の公式
錐体の体積 = 底面積 × 高さ × 1/3
球の体積 = (4/3)πr³
表面積の公式
円柱の側面積 = 2πr × 高さ（=底面の円周 × 高さ）
円錐の側面積 = πr × ℓ（r：底面の半径、ℓ：母線の長さ）
球の表面積 = 4πr²
円錐の側面はおうぎ形になり、その半径が母線ℓ、弧の長さが底面の円周（2πr）に等しくなります。
展開図・投影図
立体を切り開いて平面上に表した図を展開図といいます。立体を正面・上から見た図を組にして表したものを投影図といい、正面から見た図を正面図、上から見た図を平面図といいます。
③ 図解
円柱の展開図
○ 底面（半径r） ┌─────────────┐
│ 側面（長方形）│ 高さh
○ 底面（半径r） └─────────────┘
横の長さ = 2πr（底面の円周）
円錐の展開図（側面はおうぎ形）
／＼
／ ＼ 側面：半径ℓ（母線）のおうぎ形
／ ＼ 弧の長さ = 底面の円周 2πr
＼ ／
＼____／
○ 底面（半径r）
柱体・錐体の体積の関係
同じ底面・同じ高さのとき
柱体の体積 = 底面積 × 高さ
錐体の体積 = 柱体の体積 × 1/3
④ 例題
底面が半径3cm、高さ8cmの円柱の体積を求めなさい。（π を使う）
上の円柱の表面積を求めなさい。
答えのみ：
底面が半径3cm、高さ6cmの円錐の体積を求めなさい。
底面が1辺4cmの正方形、高さ9cmの四角錐の体積を求めなさい。
半径3cmの球の体積を求めなさい。
⑤ 基本問題
まず小学校の復習を2問。直方体・立方体の体積です。
縦3cm、横4cm、高さ5cmの直方体の体積を求めよ。
1辺6cmの立方体の体積を求めよ。
底面が半径4cm、高さ10cmの円柱の体積を求めよ。
問1の円柱の側面積を求めよ。
底面が5cm×6cmの長方形、高さ8cmの四角柱の体積を求めよ。
問3の四角柱の表面積を求めよ。
底面が半径6cm、高さ9cmの円錐の体積を求めよ。
半径6cmの球の体積を求めよ。
半径6cmの球の表面積を求めよ。
立体を正面から見た図を何というか選べ。
⑥ 標準問題
底面の半径5cm、母線13cmの円錐の側面積を求めよ。
底面の半径4cm、母線10cmの円錐について、側面積と、側面の展開図（おうぎ形）の中心角を求めよ。
側面積：
中心角：
立方体ABCD−EFGH（上面ABCD、下面EFGH、AE・BF・CG・DHが側面の辺）において、 辺ABとねじれの位置にある辺を選べ。
底面の半径7cm、高さ10cmの円柱の展開図をつくるとき、側面の長方形の横の長さを求めよ。
底面が直角三角形（直角をはさむ2辺が3cm・4cm、斜辺5cm）、高さ7cmの三角柱の体積と表面積を求めよ。
体積：
表面積：
⑦ 応用・実力テスト形式
⑤はドリル、⑥は例題1〜2段、⑦は定期テスト後半の複合・記述。外部サイトは物差しのみ（転載しない）。 複合立体は「どこで2つの立体が接しているか」に印をつけ、接した面は表面積に数えないことに注意する。 投影図（正面図・平面図）から立体を判断するときは、まず「見えた形が三角形か長方形か円か」で柱体・錐体を見分ける。
底面の半径4cmの円柱（高さ6cm）の上に、同じ半径4cmの円錐（高さ3cm）を乗せた立体がある。 この立体全体の体積を求めよ。
答え：
1辺10cmの立方体から、底面の半径2cm、高さ10cmの円柱をくり抜いた。残った立体の体積を求めよ。
答え：
直角をはさむ2辺が3cmと4cm、斜辺が5cmの直角三角形がある。4cmの辺を軸として1回転させたときにできる立体 （底面の半径3cm、高さ4cm、母線5cmの円錐）の体積と表面積を求めよ。
体積：
表面積：
正面から見ると三角形、真上から見ると正方形に見える立体は何か選べ。
底面の半径3cm、高さ8cmの円柱の上に、同じ半径3cmの半球を乗せた立体がある （半球の平らな面と円柱の上面がぴったり重なっている）。次の問いに答えよ。
╱‾‾＼
│ │ 半球（半径3cm）
├────┤
│ │
│ │ 円柱（半径3cm、高さ8cm）
│ │
└────┘(1) この立体の体積：
(2) この立体の表面積（接している面は除く）：
(3) 円柱部分だけを展開図にしたとき、側面の長方形の横の長さ：
正面から見ると底辺8cm・高さ6cmの二等辺三角形に見え、真上から見ると直径8cmの円に見える立体がある。 次の問いに答えよ。
(1) この立体の名称：
(2) この立体の体積（底面の半径4cm、高さ6cmとして計算する）：
(3) なぜこの立体を円柱ではなく円錐と判断できるか、正面図の形にふれて説明せよ。
⑧ 確認テスト
制限時間：30分 ／ 満点：100点（各20点×5問）
底面の半径6cm、高さ9cmの円柱の体積を求めよ。
問1の円柱の表面積を求めよ。
答え：
底面の半径3cm、母線9cmの円錐の側面積を求めよ。
半径9cmの球の体積を求めよ。
底面が直角三角形（直角をはさむ2辺が6cm・8cm、斜辺10cm）、高さ5cmの三角柱の体積と表面積を求めよ。
体積：
表面積：
⑨ 完全解説
問題編の解答・解説は解説編を参照してください。
立体の問題は、「底面はどこか」「高さはどこか」を図に色をつけて確認すると、公式への当てはめミスが減ります。