数学 第7章
空間図形
解説編
立体の表面積・体積の基本
図で復習する（本体）
解説を読む前に、図の日本語ラベルでもう一度構造を確認してください。文章は図で足りないところだけ補います。
側面は長方形、底面は円が2つ。
側面はおうぎ形、底面は円。
底面積と高さが同じなら、角すいの体積は角柱の 1/3。
表面積4πr²、体積(4/3)πr³。
① 導入
この解説編では、問題編のすべての問題について途中式を省略せず解説します。公式に当てはめる前に「底面はどれか、高さはどこか」を必ず確認してください。
② 基本概念
問題編の基本概念を参照してください。柱体・錐体・球のそれぞれの体積・表面積の公式を区別して覚えましょう。
④ 例題 解説
例1 半径3、高さ8の円柱の体積
π×3²×8 = π×9×8 = 72πcm³
つまずき：錐の体積で 1/3 をかけ忘れる。
例2 同じ円柱の表面積
側面積：2π×3×8 = 48π
底面積×2：π×3²×2 = 18π
48π + 18π = 66πcm²
つまずき：span・半径3・高さ8の円柱の体積の取り違えや条件の読み落とし。
例3 半径3、高さ6の円錐の体積
π×3²×6×(1/3) = π×9×2 = 18πcm³
つまずき：錐の体積で 1/3 をかけ忘れる。
例4 底面4cm正方形、高さ9の四角錐
底面積4×4=16、16×9×(1/3)=48cm³
つまずき：錐の体積で 1/3 をかけ忘れる。
例5 半径3の球の体積
(4/3)×π×3³ = (4/3)×π×27 = 36πcm³
つまずき：錐の体積で 1/3 をかけ忘れる。
⑤ 基本問題 解説
復習1 3×4×5=60cm³
つまずき：問「復習1」の条件の一部を読み落とす。
復習2 6×6×6=216cm³
つまずき：問「復習2」の条件の一部を読み落とす。
復習3 表面積=6×4²=6×16=96cm²
つまずき：ox・復習1・60cmの取り違えや条件の読み落とし。
復習4 2(2×3+3×4+4×2)=2(6+12+8)=2×26=52cm²
つまずき：問「復習4」の条件の一部を読み落とす。
1 π×4²×10=160πcm³
つまずき：mber・復習3・表面積の取り違えや条件の読み落とし。
2 2π×4×10=80πcm²
つまずき：problem・number・復習4の取り違えや条件の読み落とし。
3 5×6×8=240cm³
つまずき：problem・box・cmの取り違えや条件の読み落とし。
4 四角柱の表面積
底面積×2：5×6×2=60
側面積：周(2×(5+6))×高さ8＝22×8=176
60+176=236cm²
つまずき：の条件の一部を読み落とす・240cm・四角柱の表面積の取り違えや条件の読み落とし。
5 π×6²×9×(1/3)=π×36×3=108πcm³
つまずき：錐の体積で 1/3 をかけ忘れる。
6 (4/3)×π×6³=(4/3)×π×216=288πcm³
つまずき：236cm・表の見出し・単位を確認せず数値だけでの取り違えや条件の読み落とし。
7 4×π×6²=4×π×36=144πcm²
つまずき：number・cm・錐の体積での取り違えや条件の読み落とし。
8 正面から見た図 → 正面図（a）
つまずき：ass・problem・numberの取り違えや条件の読み落とし。
23 π×5²×8=200πcm³
つまずき：ox・cm・の条件の一部を読み落とすの取り違えや条件の読み落とし。
24 4×π×3²=4×π×9=36πcm²
つまずき：ox・正面から見た図・正面図の取り違えや条件の読み落とし。
⑥ 標準問題 解説
9 半径5、母線13の円錐の側面積
π×r×ℓ = π×5×13 = 65πcm²
つまずき：錐の体積で 1/3 をかけ忘れる。
10 半径4、母線10の円錐
側面積：π×4×10=40πcm²
底面の円周（＝おうぎ形の弧の長さ）：2π×4=8π
おうぎ形（半径10）の弧の長さの式：2π×10×(θ/360)=20π×(θ/360)=8π
θ/360=8/20=0.4 → θ=144°
なぜ：円錐の側面を展開すると、弧の長さが底面の円周と一致するおうぎ形になる。この関係から中心角を逆算できる。
つまずき：中心角/360 をかけ忘れる。
11 ABとねじれの位置の辺
ABと交わる辺：AD, BC, AE, BF
ABと平行な辺：CD, EF, GH
残りの辺（ねじれの位置）：FG, HE, CG, DH
なぜ：交わらず、かつ平行でもない位置関係を「ねじれの位置」という。立方体の各辺には必ずねじれの位置にある辺が複数存在する。
つまずき：中心角・をかけ忘れる・ABとねじれの位置の辺の取り違えや条件の読み落とし。
12 円柱の側面の横の長さ
底面の円周＝2π×7=14πcm
つまずき：行な辺・CD・EFの取り違えや条件の読み落とし。
13 直角三角形の三角柱
体積：底面積(3×4÷2=6)×高さ7＝42cm³
表面積：側面積(3+4+5)×7＝84、底面積×2＝12、合計＝96cm²
つまずき：錐の体積で 1/3 をかけ忘れる。
20 半径6、母線10の円錐の側面積
π×r×ℓ = π×6×10 = 60πcm²
つまずき：錐の体積で 1/3 をかけ忘れる。
21 半径3、母線9の円錐の展開図の中心角
底面の円周：2π×3=6π
おうぎ形（半径9）の弧：2π×9×(θ/360)=18π×(θ/360)=6π
θ/360=1/3 → θ=120°
つまずき：中心角/360 をかけ忘れる。
22 円柱の側面の横の長さ
底面の円周＝2π×4=8πcm
つまずき：半径3・母線9の円錐の展開図の中・心角の取り違えや条件の読み落とし。
25 直角三角形の三角柱（5・12・13）
体積：底面積(5×12÷2=30)×高さ6＝150cm³
表面積：側面積(5+12+13)×6＝180、底面積×2＝60、合計＝240cm²
つまずき：錐の体積で 1/3 をかけ忘れる。
26 半径5、高さ12の円錐の体積
π×5²×12×(1/3)=π×25×4=100πcm³
つまずき：錐の体積で 1/3 をかけ忘れる。
⑦ 応用・実力テスト形式 解説
14 円柱+円錐の複合立体
円柱：π×4²×6=96π
円錐：π×4²×3×(1/3)=16π
合計：96π+16π=112πcm³
つまずき：円柱と円錐の体積公式は同じ底面積でも円錐は1/3。混同しない。
15 立方体から円柱をくり抜く
立方体：10³=1000
円柱：π×2²×10=40π
1000 − 40π = 1000−40π（cm³）
つまずき：くり抜きは全体−円柱。符号を逆にして加算しない。
16 直角三角形の回転体（円錐）
(1) 体積：π×3²×4×(1/3)=π×9×4/3=12πcm³
(2) 側面積：π×3×5=15π、底面積：π×9=9π
表面積：15π+9π=24πcm²
(3) 4cmの辺を軸に回転させたので、その辺が高さ（4cm）になる。軸と直角な3cmの辺が回転して底面の半径（3cm）になる。
つまずき：直角三角形を1辺を軸に回転させると円錐ができる。軸にした辺が高さ、もう一辺が底面の半径になる。
17 投影図から立体を判断し、理由を説明する
(1) 四角錐
(2) 模範解答例：四角錐は底面が正方形なので真上からは正方形に見え、 側面が一つの頂点に集まるので正面からは三角形に見える。
つまずき：立体名だけでは不十分。底面の形と、側面が頂点に集まることの両方を投影図に結び付けて説明する。
18 円柱＋半球の複合立体
(1) 円柱の体積：π×3²×8=72π。半球の体積：(2/3)×π×3³=18π。合計：72π+18π=90πcm³
(2) 円柱の側面積：2π×3×8=48π。半球の曲面：2π×3²=18π。円柱の底面（下面のみ）：π×3²=9π
合計：48π+18π+9π=75πcm²
(3) 円柱部分の底面の円周＝展開図の横の長さ：2π×3=6πcm
つまずき：円柱と半球が接している面（上面の円）は立体の内部に隠れるので、表面積には数えない。複合立体の表面積は「外から見える面だけ」を足す。
19 投影図から立体を判断し、理由を説明する
(1) 正面が三角形、上が円 → 円錐
(2) 体積：(1/3)×π×4²×6=(1/3)×96π=32πcm³
(3) 円柱の正面図は長方形になる。この立体の正面図は三角形（上に向かってすぼまる形）なので、側面が平らに立ち上がる円柱ではなく、頂点に集まる円錐と判断できる。
つまずき：投影図だけで立体を判断するときは、正面図が長方形なら柱体、三角形なら錐体、という基準がいちばん見分けやすい。
⑧ 確認テスト 解説
1 π×6²×9=324πcm³
つまずき：cm・円柱の正面図は長方形にな・この立体の正面図は三角形の取り違えや条件の読み落とし。
2 円柱の表面積
側面積：2π×6×9=108π
底面積×2：π×36×2=72π
108π+72π=180πcm²
つまずき：est・確認テスト・cmの取り違えや条件の読み落とし。
3 π×3×9=27πcm²
つまずき：の一部を読み落とす・円柱の表面積・側面積の取り違えや条件の読み落とし。
4 (4/3)×π×9³=(4/3)×π×729=972πcm³
つまずき：cm・表の見出し・単位を確認せず数値だけでの取り違えや条件の読み落とし。
5 直角三角形の三角柱
体積：(6×8÷2)×5=24×5=120cm³
表面積：側面(6+8+10)×5=120、底面積×2=48、合計=168cm²
つまずき：錐の体積で 1/3 をかけ忘れる。
⑨ 完全解説
以上が第6章の全問題の解説です。複合立体は「単純な立体の組み合わせ・切り取り」として分解できると分かれば、公式は基本の柱体・錐体・球のままで対応できます。
確認テストで80%以上取れたら、第7章「資料の活用」に進みましょう。