数学 第6章
空間図形
解説編
立体の表面積・体積の基本
① 導入
この解説編では、問題編のすべての問題について途中式を省略せず解説します。公式に当てはめる前に「底面はどれか、高さはどこか」を必ず確認してください。
② 基本概念
問題編の基本概念を参照してください。柱体・錐体・球のそれぞれの体積・表面積の公式を区別して覚えましょう。
③ 図解
問題編の図解を参照してください。
④ 例題 解説
例1 半径3、高さ8の円柱の体積
π×3²×8 = π×9×8 = 72πcm³
例2 同じ円柱の表面積
側面積：2π×3×8 = 48π
底面積×2：π×3²×2 = 18π
48π + 18π = 66πcm²
例3 半径3、高さ6の円錐の体積
π×3²×6×(1/3) = π×9×2 = 18πcm³
例4 底面4cm正方形、高さ9の四角錐
底面積4×4=16、16×9×(1/3)=48cm³
例5 半径3の球の体積
(4/3)×π×3³ = (4/3)×π×27 = 36πcm³
⑤ 基本問題 解説
復習1 3×4×5=60cm³
復習2 6×6×6=216cm³
1 π×4²×10=160πcm³
2 2π×4×10=80πcm²
3 5×6×8=240cm³
4 四角柱の表面積
底面積×2：5×6×2=60
側面積：周(2×(5+6))×高さ8＝22×8=176
60+176=236cm²
5 π×6²×9×(1/3)=π×36×3=108πcm³
6 (4/3)×π×6³=(4/3)×π×216=288πcm³
7 4×π×6²=4×π×36=144πcm²
8 正面から見た図 → 正面図（a）
⑥ 標準問題 解説
9 半径5、母線13の円錐の側面積
π×r×ℓ = π×5×13 = 65πcm²
10 半径4、母線10の円錐
側面積：π×4×10=40πcm²
底面の円周（＝おうぎ形の弧の長さ）：2π×4=8π
おうぎ形（半径10）の弧の長さの式：2π×10×(θ/360)=20π×(θ/360)=8π
θ/360=8/20=0.4 → θ=144°
なぜ：円錐の側面を展開すると、弧の長さが底面の円周と一致するおうぎ形になる。この関係から中心角を逆算できる。
11 ABとねじれの位置の辺
ABと交わる辺：AD, BC, AE, BF
ABと平行な辺：CD, EF, GH
残りの辺（ねじれの位置）：FG, HE, CG, DH
なぜ：交わらず、かつ平行でもない位置関係を「ねじれの位置」という。立方体の各辺には必ずねじれの位置にある辺が複数存在する。
12 円柱の側面の横の長さ
底面の円周＝2π×7=14πcm
13 直角三角形の三角柱
体積：底面積(3×4÷2=6)×高さ7＝42cm³
表面積：側面積(3+4+5)×7＝84、底面積×2＝12、合計＝96cm²
⑦ 応用・実力テスト形式 解説
14 円柱+円錐の複合立体
円柱：π×4²×6=96π
円錐：π×4²×3×(1/3)=16π
合計：96π+16π=112πcm³
15 立方体から円柱をくり抜く
立方体：10³=1000
円柱：π×2²×10=40π
1000 − 40π = 1000−40π（cm³）
16 直角三角形の回転体（円錐）
体積：π×3²×4×(1/3)=π×9×4/3=12πcm³
側面積：π×3×5=15π、底面積：π×9=9π
表面積：15π+9π=24πcm²
なぜ：直角三角形を1辺を軸に回転させると円錐ができる。軸にした辺が高さ、もう一辺が底面の半径になる。
17 投影図から立体を判断
正面が三角形、上から見ると四角形（正方形）→ 四角錐（b）
18 円柱＋半球の複合立体
(1) 円柱の体積：π×3²×8=72π。半球の体積：(2/3)×π×3³=18π。合計：72π+18π=90πcm³
(2) 円柱の側面積：2π×3×8=48π。半球の曲面：2π×3²=18π。円柱の底面（下面のみ）：π×3²=9π
合計：48π+18π+9π=75πcm²
(3) 円柱部分の底面の円周＝展開図の横の長さ：2π×3=6πcm
なぜ：円柱と半球が接している面（上面の円）は立体の内部に隠れるので、表面積には数えない。複合立体の表面積は「外から見える面だけ」を足す。
19 投影図から立体を判断し、理由を説明する
(1) 正面が三角形、上が円 → 円錐
(2) 体積：(1/3)×π×4²×6=(1/3)×96π=32πcm³
(3) 円柱の正面図は長方形になる。この立体の正面図は三角形（上に向かってすぼまる形）なので、側面が平らに立ち上がる円柱ではなく、頂点に集まる円錐と判断できる。
なぜ：投影図だけで立体を判断するときは、正面図が長方形なら柱体、三角形なら錐体、という基準がいちばん見分けやすい。
⑧ 確認テスト 解説
1 π×6²×9=324πcm³
2 円柱の表面積
側面積：2π×6×9=108π
底面積×2：π×36×2=72π
108π+72π=180πcm²
3 π×3×9=27πcm²
4 (4/3)×π×9³=(4/3)×π×729=972πcm³
5 直角三角形の三角柱
体積：(6×8÷2)×5=24×5=120cm³
表面積：側面(6+8+10)×5=120、底面積×2=48、合計=168cm²
⑨ 完全解説
以上が第6章の全問題の解説です。複合立体は「単純な立体の組み合わせ・切り取り」として分解できると分かれば、公式は基本の柱体・錐体・球のままで対応できます。
確認テストで80%以上取れたら、第7章「資料の活用」に進みましょう。