数学 第6章
平面図形
要点編
作図・基本性質・角度・面積
まず①の図で構造を掴み、つづく②の要点本文で意味・手順・注意を読む。 ⑤の例題は、②で説明した内容だけを確認するためのものです。説明していない解法は出しません。
この章でできるようになること
- 直線・角の表し方を使える
- 図形の移動を説明できる
- 基本の作図ができる
- おうぎ形の弧の長さ・面積を求められる
- 対称な図形の性質を説明できる
小学校の橋渡し（必要なら開く）
- 小学校で学んだ円の周と面積の公式（円周率）を復習しよう
- コンパス・三角定規の使い方をもう一度確認しよう
- 対称な図形（線対称・点対称）の見分け方を小学校の内容から復習しよう
- 角度の性質（三角形の内角の和など）を復習しよう
① 図で構造を掴む
図の日本語ラベルで全体の関係を先に見てください。細部の意味・使い方は②の本文で説明します。
中心角 θ・半径 r。弧の長さと面積は円全体に対する θ/360 の割合で求める。
ℓ∥m のとき、同位角は等しく、錯角も等しい。
線対称は軸で折り返し、点対称は点を中心に180°回転した位置。
② 要点（本文）
この章の学習内容はここが本体です。例題・問題編は、ここで読んだ内容を使う練習です。
1.直線・線分・半直線
両方向に限りなく伸びるものを直線、両端がある部分を線分、一方だけ限りなく伸びる部分を半直線という。2点A・B間の距離は線分ABの長さで表し、AB=5cmのように書く。直線ABは点A・Bを通り両方向に延びる。半直線は始点を決めて一方に伸ばす。図形の問題では、線分・半直線・直線のどれを扱っているかを確認しないと、距離や交点の議論がずれる。
2.角の表し方と平行・垂直の記号
角は∠ABC（頂点B）のように頂点を真ん中に書いて表す。2つの直線が交わらない関係を平行といい∥、90°で交わる関係を垂直といい⊥で表す。AB∥CDは直線ABとCDが平行、AB⊥CDは垂直である。作図や証明の記述では、∠・∥・⊥の記号を正しく使う。角の大きさは°（度）で表し、直角は90°である。記号の意味を混同しない。
3.平行移動
図形を一定の方向に一定の距離だけずらす移動を平行移動という。移動前後の対応する点を結ぶ線分は、すべて平行で長さが等しい。図形の大きさ・形・向きは変わらない。平行移動後の点A′は、AA′の向きと長さが移動の向きと距離を表す。作図では、各頂点を同じ方向・同じ距離だけ動かして新しい図形をかく。回転や対称と混同しない。
4.回転移動
図形を1つの点（回転の中心）を中心に、一定の角度だけ回す移動を回転移動という。回転前後の対応する点は、回転の中心から等しい距離にある。回転の中心・回転角（何度回すか）・回転の向き（時計回り・反時計回り）の3つを確認する。点対称は回転の中心を対称の中心として180°回転したとき重なる関係と結びつく。回転の中心を取り違えると図形がずれる。
5.対称移動
図形を1つの直線（対称の軸）を折り目として折り返す移動を対称移動という。対応する点は対称の軸に垂直で、軸から等しい距離にある。線分の長さや角の大きさは変わらない。対称移動の作図では、各頂点について軸への垂線を引き、軸から等しい距離の反対側に対応点をとる。対称の軸を先に図に書くと作図が安定する。平行移動と混同しない。
6.垂直二等分線の作図
線分ABの垂直二等分線は、AとBから等しい距離にある点の集まりである。作図では、A・Bをそれぞれ中心に同じ半径の円（弧）をかき、2つの弧の交点2つを直線で結ぶ。この直線はABの中点を通り、ABと垂直である。垂直二等分線上の任意の点PはPA=PBを満たす。コンパスの開きを途中で変えないことが正確な作図のコツである。
7.角の二等分線・垂線の作図
角の二等分線は、角をつくる2辺から等しい距離にある点の集まりである。角の頂点を中心に弧をかき2辺との交点をとり、その2点を中心に同じ半径の弧をかいて交点を得、頂点と結ぶ。点Pから直線lへの垂線は、Pを通りlと垂直に交わる直線として、l上にlと垂直な円弧を用いて作図する。垂直二等分線と角の二等分線の手順を混同しない。
8.おうぎ形の弧の長さと面積
おうぎ形は円の中心角に対応する部分を切り取った形である。弧の長さl=2πr×(中心角/360)、面積S=πr²×(中心角/360)で求める。中心角が360°なら円全体になる。公式の共通点は「円全体の値×(中心角/360)」である。円からおうぎ形を切り取った残りの面積は、円全体の面積から切り取るおうぎ形の面積を引いて求める。中心角/360をかけ忘れると円全体の値のまま答えてしまう。
9.線対称・点対称な図形の性質
線対称な図形は対称の軸で折り重ねるとぴったり重なる。対称の軸上の点は自分自身と対応する。点対称な図形は対称の中心を中心に180°回転すると元の図形と重なる。対称の中心は自分自身と対応する。対称な図形の問題では、対称の軸や中心を先に図に書き、対応する辺や角が等しいことを使う。線対称と点対称を取り違えない。
③ 公式・用語
| 名称 | 内容 | メモ |
|---|---|---|
| 円周 | 2πr（rは半径） | — |
| 円の面積 | πr² | — |
| おうぎ形の弧の長さ | l＝2πr×(中心角/360) | — |
| おうぎ形の面積 | S＝πr²×(中心角/360) | — |
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| 線分 | 両端がある直線の一部 |
| 半直線 | 一方だけ限りなく伸びる直線の一部 |
| 垂直 | 2つの直線が90°で交わること |
| 平行 | 交わらない2つの直線の関係 |
| 平行移動 | 一定方向に一定距離ずらす移動 |
| 回転移動 | 1点を中心に一定の角度だけ回す移動 |
| 対称移動 | 1つの直線を折り目として折り返す移動 |
| おうぎ形 | 円の一部を切り取った形 |
| 中心角 | おうぎ形の頂点にできる角 |
| 弧 | 円周の一部分 |
④ 解く手順
垂直二等分線の作図手順
- 線分の両端A・Bを決める
- Aを中心に適当な半径の円（弧）をかく
- Bを中心に同じ半径の円（弧）をかく
- 2つの弧の交点2つを直線で結ぶ
角の二等分線の作図手順
- 角の頂点を中心に適当な半径の弧をかき、2辺との交点を作る
- その2つの交点をそれぞれ中心に同じ半径の弧をかく
- 弧の交点と頂点を直線で結ぶ
定期・実力テストで点にする手順
- 学校ワークを1周し、わからない問に×、あやしい問に△の印をつける
- 印の問題だけを答えを見ずに2周目する（ここが得点に直結する）
- 本アプリの⑦で条件整理・記述・複合を練習する
- ミスを知識不足／読み違い／ケアレス／時間不足に分け、対策を変える
⑤ 例題（②の確認）
各例題は②で説明したルール・手順だけを使います。解けないときは答えを見る前に、②の該当項目へ戻ってください。
半径6cm、中心角120°のおうぎ形の弧の長さを求めなさい。
考え方・答えを見る
まずl=2π×6×(120/360)=12π×(1/3)=4π。
答え：4πcm
半径6cm、中心角120°のおうぎ形の面積を求めなさい。
考え方・答えを見る
まずS=π×6²×(120/360)=36π×(1/3)=12π。
答え：12πcm²
線分ABの垂直二等分線はどのような点の集まりか説明しなさい。
考え方・答えを見る
まず垂直二等分線上のどの点も、両端A、Bまでの距離が等しくなる。
答え：AとBから等しい距離にある点の集まりである。
半径9cm、弧の長さ6πcmのおうぎ形の中心角を求めなさい。
考え方・答えを見る
まず2π×9×(x/360)=6πより、18(x/360)=6、x/360=1/3、x=120。
答え：120°
半径4cmの円から中心角90°のおうぎ形を切り取った残りの図形の面積を求めなさい。
考え方・答えを見る
まず円全体の面積は16π。次に切り取る部分は16π×(90/360)=4π。だから残りは16π-4π=12π。
答え：12πcm²
⑥ 模試・定期テストでの使い方
この単元で点を取るための使い方です。計画の全体像は得点アップの技術も併せて確認してください。
学力向上テクニック（数学）
- 公式を暗記する前に、例題を自力で考え、詰まったら解説で「なぜその式か」を確認する。
- 途中式は1行1操作。答えのあとに符号・単位・「何を求めたか」を短時間で見直す。
- 文章題は未知数を「求めたい量」にそろえてから立式し、求めた値を元の条件に代入して検算する。
- おうぎ形は「中心角/360」をかけたか最後に確認する。
- 作図は手順を図に残し、コンパスの開きを途中で変えない。
全体の計画の立て方は得点アップの技術を見てから、この章の問題編へ進みましょう。
- おうぎ形は「中心角/360」をかけたか最後に確認する。
- 作図は手順を図に残し、コンパスの開きを途中で変えない。
- 対称は軸や中心を先に書き込んでから考える。
- 模試・定期テストでは、おうぎ形の問題は必ず「中心角/360」をかけたかを最後に確認する。
- 作図問題は手順を1つずつ図に残し、コンパスの開き具合を途中で変えない。
- 移動の問題では、対応する点を結ぶ線分の性質（平行・等距離・垂直）を根拠として書く。
- 対称な図形の問題は、対称の軸や中心を先に図に書き込んでから考える。
- 公式を暗記する前に、例題を自力で考え、詰まったら解説で「なぜその式か」を確認する。
⑦ よくあるミス
- おうぎ形で中心角/360をかけ忘れ、円全体の値のまま答える
- 垂直二等分線と角の二等分線の作図手順を混同する
- 対称移動で、対称の軸との距離を対応点ごとに変えてしまう
- 回転移動で回転の中心と回転角を確認せずに図をかく
- おうぎ形の弧の長さの公式で半径と中心角を取り違える
- 円の面積の公式でr²の2乗を忘れて計算する
⑧ 理解チェック
- 直線・角の用語を使える
- 平行移動を説明できる
- 回転移動を説明できる
- 対称移動を説明できる
- 垂直二等分線を作図できる
- 角の二等分線を作図できる
- 垂線を作図できる
- おうぎ形の弧の長さを求められる
- おうぎ形の面積を求められる
- 線対称・点対称な図形の性質を説明できる
⑨ 問題編へ
「平面図形」の②の要点が頭に入ったら、問題編で手を動かしましょう。
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