数学 第5章
平面図形
要点編
作図・基本性質・角度・面積
ここは参考書パート（要点編）です。市販参考書と同じく「読んで理解 → 例題で流れを追う → チェック」の順で進めてください。理解チェックができたら問題編へ。
① この章のねらい
平面図形では、直線・角の基本用語から、図形の移動（平行移動・回転移動・対称移動）、基本の作図（垂直二等分線・角の二等分線・垂線）、円とおうぎ形の弧の長さ・面積までを扱う。作図は手順を守れば正確にかけ、おうぎ形の計算は「中心角が360°の何分の1か」という割合を使う点が共通のコツになる。
- 直線・角の表し方を使える
- 図形の移動を説明できる
- 基本の作図ができる
- おうぎ形の弧の長さ・面積を求められる
- 対称な図形の性質を説明できる
- 小学校で学んだ円の周と面積の公式（円周率）を復習しよう
- コンパス・三角定規の使い方をもう一度確認しよう
- 対称な図形（線対称・点対称）の見分け方を小学校の内容から復習しよう
- 角度の性質（三角形の内角の和など）を復習しよう
② 重要ポイント（本文）
1.直線・線分・半直線
両方向に限りなく伸びる直線、両端がある線分、一方だけ限りなく伸びる半直線を区別する。2点間の距離は、その2点を結ぶ線分の長さで表す。
2.角の表し方と平行・垂直の記号
角は∠を使って表し、平行な直線は「//」、垂直な直線は「⊥」の記号で表す。
3.平行移動
図形を一定の方向に一定の距離だけずらす移動。対応する点を結ぶ線分は、すべて平行で長さが等しい。
4.回転移動
図形を1つの点（回転の中心）を中心に、一定の角度だけ回す移動。対応する点は回転の中心から等しい距離にある。
5.対称移動
図形を1つの直線（対称の軸）を折り目として折り返す移動。対応する点は対称の軸に垂直で、軸から等しい距離にある。
6.垂直二等分線の作図
線分の両端から等しい距離にある点の集まりが垂直二等分線になる。両端をそれぞれ中心とする等しい半径の円（弧）をかき、その交点を結ぶ。
7.角の二等分線・垂線の作図
角の二等分線は、角をつくる2辺から等しい距離にある点の集まりである。点から直線への垂線は、その点を通り直線と垂直に交わる直線として、コンパスを使って作図する。
8.おうぎ形の弧の長さと面積
おうぎ形は、円の中心角に対応する割合の分だけを取り出した形である。弧の長さも面積も、円全体の値に「中心角/360」をかけて求める。
9.線対称・点対称な図形の性質
線対称な図形は対称の軸で折り重ねるとぴったり重なり、点対称な図形は対称の中心を中心に180°回転すると元の図形に重なる。
③ 公式・用語
| 名称 | 内容 | メモ |
|---|---|---|
| 円周 | 2πr（rは半径） | — |
| 円の面積 | πr² | — |
| おうぎ形の弧の長さ | l＝2πr×(中心角/360) | — |
| おうぎ形の面積 | S＝πr²×(中心角/360) | — |
用語集
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| 線分 | 両端がある直線の一部 |
| 半直線 | 一方だけ限りなく伸びる直線の一部 |
| 垂直 | 2つの直線が90°で交わること |
| 平行 | 交わらない2つの直線の関係 |
| 平行移動 | 一定方向に一定距離ずらす移動 |
| 回転移動 | 1点を中心に一定の角度だけ回す移動 |
| 対称移動 | 1つの直線を折り目として折り返す移動 |
| おうぎ形 | 円の一部を切り取った形 |
| 中心角 | おうぎ形の頂点にできる角 |
| 弧 | 円周の一部分 |
④ 解法・読み方の手順
垂直二等分線の作図手順
- 線分の両端A・Bを決める
- Aを中心に適当な半径の円（弧）をかく
- Bを中心に同じ半径の円（弧）をかく
- 2つの弧の交点2つを直線で結ぶ
角の二等分線の作図手順
- 角の頂点を中心に適当な半径の弧をかき、2辺との交点を作る
- その2つの交点をそれぞれ中心に同じ半径の弧をかく
- 弧の交点と頂点を直線で結ぶ
⑤ 図解
図形の移動 平行移動：向き・長さが同じ 回転移動：回転の中心から等距離 対称移動：対称の軸に垂直で等距離
おうぎ形 中心角a° 弧の長さ＝円周×(a/360) 面積＝円の面積×(a/360)
⑥ 例題（読んで流れを追う）
ここは「解く」より「途中式と根拠を追う」ための例です。演習は問題編で。
半径6cm、中心角120°のおうぎ形の弧の長さを求めなさい。
考え方・途中式
l=2π×6×(120/360)=12π×(1/3)=4π。
答え：4πcm
半径6cm、中心角120°のおうぎ形の面積を求めなさい。
考え方・途中式
S=π×6²×(120/360)=36π×(1/3)=12π。
答え：12πcm²
線分ABの垂直二等分線はどのような点の集まりか説明しなさい。
考え方・途中式
垂直二等分線上のどの点も、両端A、Bまでの距離が等しくなる。
答え：AとBから等しい距離にある点の集まりである。
半径9cm、弧の長さ6πcmのおうぎ形の中心角を求めなさい。
考え方・途中式
2π×9×(x/360)=6πより、18(x/360)=6、x/360=1/3、x=120。
答え：120°
半径4cmの円から中心角90°のおうぎ形を切り取った残りの図形の面積を求めなさい。
考え方・途中式
円全体の面積は16π。切り取る部分は16π×(90/360)=4π。残りは16π-4π=12π。
答え：12πcm²
⑦ 模試・定期テストでの使い方
外部過去問（JS88・リセマム等）の使い分けは過去問・外部資料ガイドを参照。
- 模試・定期テストでは、おうぎ形の問題は必ず「中心角/360」をかけたかを最後に確認する。
- 作図問題は手順を1つずつ図に残し、コンパスの開き具合を途中で変えない。
- 移動の問題では、対応する点を結ぶ線分の性質（平行・等距離・垂直）を根拠として書く。
- 対称な図形の問題は、対称の軸や中心を先に図に書き込んでから考える。
- 平面図形はちびむすの作図プリントで手を動かして定着。
- ⑤＝ちびむす/手鏡相当 ⑥＝005net例題相当 ⑦＝中1定期後半相当（本アプリ）
- ⑦は中1定期テスト後半相当：条件整理・複合計算・記述を必須にする
- 作問時はちびむす/手鏡（⑤）・005net例題（⑥）の密度を定規に合わせる
⑧ よくあるミス
- おうぎ形で中心角/360をかけ忘れ、円全体の値のまま答える
- 垂直二等分線と角の二等分線の作図手順を混同する
- 対称移動で、対称の軸との距離を対応点ごとに変えてしまう
- 回転移動で回転の中心と回転角を確認せずに図をかく
- おうぎ形の弧の長さの公式で半径と中心角を取り違える
- 円の面積の公式でr²の2乗を忘れて計算する
⑨ 理解チェック
口頭でもノートでもよいので、全部言えたら問題編へ。
- 直線・角の用語を使える
- 平行移動を説明できる
- 回転移動を説明できる
- 対称移動を説明できる
- 垂直二等分線を作図できる
- 角の二等分線を作図できる
- 垂線を作図できる
- おうぎ形の弧の長さを求められる
- おうぎ形の面積を求められる
- 線対称・点対称な図形の性質を説明できる