数学 第5章
平面図形
解説編
作図・基本性質・角度・面積
① 導入
この解説編では、問題編のすべての問題について途中式を省略せず解説します。おうぎ形の公式は、円全体（360°）に対する割合として考えると覚えやすくなります。
② 基本概念
問題編の基本概念を参照してください。作図の3種類（垂直二等分線・角の二等分線・垂線）と、平行線の同位角・錯角の関係を確実にしましょう。
③ 図解
問題編の図解を参照してください。
④ 例題 解説
例1 半径6cm、中心角120°の弧の長さ
2π×6×(120/360) = 12π×(1/3) = 4πcm
例2 同じおうぎ形の面積
π×6²×(120/360) = 36π×(1/3) = 12πcm²
例3 弧の長さ8π、中心角180°の半径
中心角180°（半円）なので、弧の長さ = πr
πr = 8π → r = 8
例4 同位角70°の錯角
2直線が平行なとき、同位角と錯角はどちらも等しい関係にあるため、対応する錯角も70°
例5 垂直二等分線の作図
A, Bを中心に同じ半径の円をかき、その2つの交点を通る直線が垂直二等分線になる。正解：a
⑤ 基本問題 解説
復習1 三角形の内角の和は180度
復習2 8×5÷2=20cm²
1 半径9、中心角40°の弧
2π×9×(40/360)=18π×(1/9)=2πcm
2 同じおうぎ形の面積
π×81×(40/360)=81π×(1/9)=9πcm²
3 半径5、中心角90°の面積
π×25×(1/4)=6.25πcm²
4 中心角72°、弧2πの半径
2πr×(72/360)=2πr×(1/5)=2π
2πr/5=2π → r=5
5 同位角72°の錯角 = 72°
6 半径4、弧πの中心角
2π×4×(θ/360)=8π×(θ/360)=π
θ/360=1/8 → θ=45°
7 対称移動の定義 → b
8 点対称移動の性質 → a
対応する点と回転の中心を結ぶ線分は、すべて回転の中心を通り、中心で2等分される。
⑥ 標準問題 解説
9 半径12、中心角150°
弧：2π×12×(150/360)=24π×(5/12)=10πcm
面積：π×144×(150/360)=144π×(5/12)=60πcm²
10 弧6π、半径9の中心角
2π×9×(θ/360)=18π×(θ/360)=6π
θ/360=1/3 → θ=120°
11 点(2,3)の対称移動
y軸に関して対称移動：x座標の符号だけ変わる → (−2, 3)
原点に関して対称移動：x, y座標両方の符号が変わる → (−2, −3)
12 AA′とℓの関係 → c
対称移動では、対応する点を結ぶ線分は対称の軸に垂直であり、軸によって2等分される。
13 半径5、中心角90°
弧：2π×5×(1/4)=2.5πcm
面積の割合：90/360=25%
⑦ 応用・実力テスト形式 解説
14 半円と直角三角形の複合図形
半円の半径は12÷2=6cm。半円の面積：π×6²÷2=18π
三角形の面積：12×6÷2=36
合計：18π+36（cm²）
15 相似なおうぎ形の比
弧の長さは半径に比例するので、比は半径比のまま：4:6=2:3
面積は半径の2乗に比例するので：4²:6²=16:36=4:9
なぜ：中心角が同じおうぎ形は「相似」であり、長さの比はそのまま、面積の比は2乗になる。
16 く字型の角度（AB∥CD）
点Eを通り、AB・CDに平行な補助線を引く。
錯角の関係から、上側の角は∠ABEと等しく35°、下側の角は∠CDEと等しく25°
∠BED = 35° + 25° = 60°
なぜ：折れ線の角度は、折れ点を通る平行線を補助線として引くことで、2つの錯角の和に分解できる。この「く字型」は平行線の応用問題の代表例。
17 2点から等距離かつ直線ℓ上の点 → a
2点から等しい距離にある点の集まりは垂直二等分線。その垂直二等分線とℓの交点が求める点。
18 正方形に内接する円の複合図形
円の半径：直径12cm÷2=6cm
(1) 円の面積：π×6²=36πcm²
(2) 正方形の面積：12×12=144。4すみの面積：144−36π=144−36π（cm²）
(3) 円周率3.14で計算：36×3.14=113.04。113.04÷144=0.785 → 78.5%
なぜ：複合図形は「正方形全体」から「知っている形（円）」を引くと、複雑な4すみの形を直接測らずに求められる。
19 折れ線A-E-Dの角度（補助線を使った3段階）
Eを通り、AB・CDに平行な補助線ℓを引く。
(1) ℓとAEがつくる角∠1：ℓ∥ABなので、AEを横切る線とみて錯角の関係から∠1=∠EAB=38°
(2) ℓとDEがつくる角∠2：ℓ∥CDなので、同様に錯角の関係から∠2=∠EDC=47°
(3) ∠AED=∠1+∠2=38°+47°=85°
なぜ：折れ点を通る補助線を引くと、1つの角を「知っている角と等しい2つの角」に分解できる。この考え方はどんな折れ線の角度問題にも使える。
⑧ 確認テスト 解説
1 半径8、中心角135°の弧
2π×8×(135/360)=16π×(3/8)=6πcm
2 同じおうぎ形の面積
π×64×(135/360)=64π×(3/8)=24πcm²
3 同位角58°の錯角 = 58°
4 点(−3,4)のx軸対称移動
y座標の符号だけ変わる → (−3, −4)
5 く字型（AB∥CD）
Eを通る平行線を補助線とすると、∠BED = 42° + 38° = 80°
⑨ 完全解説
以上が第5章の全問題の解説です。おうぎ形は「円の何分の1か」を先に求めると、弧の長さも面積も同じ考え方で解けます。
確認テストで80%以上取れたら、第6章「空間図形」に進みましょう。