数学 第4章
比例・反比例
要点編
式・表・グラフの往復
ここは参考書パート（要点編）です。市販参考書と同じく「読んで理解 → 例題で流れを追う → チェック」の順で進めてください。理解チェックができたら問題編へ。
① この章のねらい
関数とは、xの値を決めるとyの値がただ一つ決まる関係である。比例y=axでは、xがn倍になるとyもn倍になり、グラフは原点を通る直線になる。反比例y=a/xでは、xがn倍になるとyは1/n倍になり、グラフは双曲線になる。式・表・グラフを行き来しながら、比例定数の意味と求め方を身につける。
- 関数の意味を説明できる
- 座標を読み書きできる
- 比例の式とグラフの特徴を説明できる
- 反比例の式とグラフの特徴を説明できる
- 表から比例定数を求められる
- 比例・反比例の文章題を解ける
- 小学校で学んだ比例・反比例の考え方（表の増え方）を思い出そう
- 単位量あたりの大きさ（速さ・密度など）の復習をしよう
- 表の縦と横の関係を読み取る練習を復習しよう
- 分数のわり算・かけ算を確認しよう（比例定数の計算で使う）
② 重要ポイント（本文）
1.関数の意味
xの値を一つ決めると、それに対応するyの値がただ一つ決まるとき、yはxの関数であるという。
2.座標の読み方
平面上の点の位置は、x軸方向の値（x座標）とy軸方向の値（y座標）の組(x, y)で表す。
3.比例の式と比例定数
yがxに比例するとき、y=axの形で表され、このaを比例定数という。表ではyをxで割った値が一定になる。
4.比例のグラフ
y=axのグラフは原点を通る直線になる。aが正なら右上がり、aが負なら右下がりになる。
5.反比例の式と比例定数
yがxに反比例するとき、y=a/x（xy=a）の形で表される。表ではxとyの積が一定になる。
6.反比例のグラフ
y=a/xのグラフはなめらかな2本の曲線（双曲線）になり、x軸・y軸に近づくが交わらない。
7.表から比例・反比例を見分ける
表のxとyについて、y÷xが一定なら比例、x×yが一定なら反比例である。どちらも一定でなければ比例・反比例ではない。
8.比例・反比例の文章題
速さ・単価・満水までの時間などの場面では、まず比例か反比例かを見分け、式に表してから条件のxまたはyを代入する。
③ 公式・用語
| 名称 | 内容 | メモ |
|---|---|---|
| 比例 | y＝ax（aは比例定数） | — |
| 反比例 | y＝a/x（xy＝a） | — |
| 座標 | 点の位置を(x, y)の組で表す | — |
用語集
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| 関数 | xを決めるとyが1つ決まる関係 |
| 変数 | 色々な値をとる文字 |
| 比例 | y＝axの形で表される関係 |
| 比例定数 | 比例・反比例の式に出てくる定数a |
| 反比例 | y＝a/xの形で表される関係 |
| 座標 | 点の位置を表す数の組 |
| 原点 | 座標が(0, 0)である点 |
| 双曲線 | 反比例のグラフの形 |
④ 解法・読み方の手順
表から比例か反比例かを見分ける手順
- 表のxとyの値を並べる
- y÷xを計算して一定かを確かめる
- x×yを計算して一定かを確かめる
- 一定になった方の式に表す
比例・反比例の文章題を解く手順
- xとyが何を表すか決める
- 比例か反比例かを見分ける
- 式に比例定数を代入して求める
- 条件のx（またはy）を代入して答えを出す
⑤ 図解
比例のグラフ y │ ／ │ ／ │／________ x 原点を通る直線
反比例のグラフ y │＼ │ ＼ │ ＼＿＿ x 原点を通らない双曲線
⑥ 例題（読んで流れを追う）
ここは「解く」より「途中式と根拠を追う」ための例です。演習は問題編で。
yはxに比例し、x=3のときy=12である。比例定数を求めなさい。
考え方・途中式
y=axに(3,12)を代入して12=3a。両辺を3で割るとa=4。
答え：a=4
y=-2xのグラフ上で、x=-3のときのyを求めなさい。
考え方・途中式
y=-2×(-3)=6。
答え：y=6
yはxに反比例し、x=4のときy=6である。x=8のときのyを求めなさい。
考え方・途中式
xy=a=4×6=24。x=8のときy=24÷8=3。
答え：y=3
表でx=1,2,3のときy=12,6,4であった。yをxの式で表しなさい。
考え方・途中式
x×yがすべて12で一定なので反比例。a=12より y=12/x。
答え：y=12/x
60Lの水を毎分xLずつ入れるとき、いっぱいになるまでの時間をy分とする。yをxの式で表し、x=5のときのyを求めなさい。
考え方・途中式
水の量が一定なのでxy=60、y=60/x。x=5のときy=60÷5=12。
答え：y=60/x、y=12（分）
⑦ 模試・定期テストでの使い方
外部過去問（JS88・リセマム等）の使い分けは過去問・外部資料ガイドを参照。
- 模試・定期テストでは、y=axとy=a/xを式の形（xがそのままかbunnoかけ算か）で見分けてから解き始める。
- 座標は必ず(x座標, y座標)の順で書く習慣をつける。
- 表の問題ではy÷xとx×yの両方を試し、どちらが一定かで比例・反比例を判定する。
- 文章題では、答えに単位（分・円・cmなど）をつけ忘れないようにする。
- 比例反比例は005net解説動画で式・表・グラフの往復を確認。
- ⑤＝ちびむす/手鏡相当 ⑥＝005net例題相当 ⑦＝中1定期後半相当（本アプリ）
- ⑦は中1定期テスト後半相当：条件整理・複合計算・記述を必須にする
- 作問時はちびむす/手鏡（⑤）・005net例題（⑥）の密度を定規に合わせる
⑧ よくあるミス
- y=axとy=a/xを式の形だけで混同する
- 座標を(y, x)の順に書いてしまう
- 反比例のグラフを直線でかいてしまう
- 表の値からx×yではなくx+yで比例定数を探そうとする
- 比例のグラフが原点を通ることを確認せずにかく
- 反比例でx=0のときのyを求めようとする（定義されない）
⑨ 理解チェック
口頭でもノートでもよいので、全部言えたら問題編へ。
- 関数の意味を説明できる
- 座標を読み書きできる
- 比例の式を求められる
- 比例のグラフの特徴を説明できる
- 反比例の式を求められる
- 反比例のグラフの特徴を説明できる
- 表から比例・反比例を判別できる
- 比例定数を求められる
- 文章題を関数で解ける