数学 第4章
比例・反比例
解説編
式・表・グラフの往復
① 導入
この解説編では、問題編のすべての問題について途中式を省略せず解説します。比例はy÷xが一定、反比例はx×yが一定であることを常に確認しながら読んでください。
② 基本概念
問題編の基本概念を参照してください。式・表・グラフのどれから出発しても、比例定数（またはxy=aの値）を最初に求めることがすべての基本です。
③ 図解
問題編の図解を参照してください。
④ 例題 解説
例1 比例、x=3, y=12
y=axに代入：12=3a → a=4
答え：y=4x
例2 y=4xでx=−5
y=4×(−5)=−20
例3 反比例、x=4, y=6
a=xy=4×6=24
答え：y=24/x
例4 y=24/xでx=−3
y=24/(−3)=−8
例5 点(2,−6)を通る比例
−6=a×2 → a=−3
答え：y=−3x
⑤ 基本問題 解説
復習1 60÷20=3時間
復習2 10÷40=0.25 → 25%
1 y=5×3=15
2 −20=5x → x=−4
3 y=−2×(−6)=12
4 −8=a×2 → a=−4
5 y=12/3=4
6 −2=12/x → x=−6
7 xy=8は積が一定 → 反比例 （c）
y=2xは比例（原点を通り商が一定）。y=x+3は原点を通らず比例ではない。y=x²も比例・反比例ではない。
8 9=a×(−3) → a=−3 → y=−3x（a）
⑥ 標準問題 解説
9 比例、x=−2, y=10
a=10÷(−2)=−5、y=−5x
x=7のとき：y=−5×7=−35
10 反比例、x=−6, y=−3
a=(−6)×(−3)=18、y=18/x
x=2のとき：y=18/2=9
11 比例の表（x=2でy=6）
a=6÷2=3、y=3x
ア：x=−4 → y=3×(−4)=−12
イ：x=6 → y=3×6=18
12 反比例の表（x=2でy=24）
a=2×24=48、y=48/x
ア：x=4 → y=48/4=12
イ：x=8 → y=48/8=6
13 点(4,−8)を通る反比例
a=4×(−8)=−32、y=−32/x
x=−2のとき：y=−32/(−2)=16
⑦ 応用・実力テスト形式 解説
14 水槽に水を入れる
毎分3Lなので、y=3x
45=3x → x=15分後
15 歯車の回転数
歯数×回転数は一定：24×10=240
x=16のとき：240÷16=15回転
なぜ：歯車がかみ合うとき、単位時間あたりに通過する歯の数は等しくなる。これは「歯数×回転数＝一定」という反比例の関係を意味する。
16 90kmの走行時間と速さ
y=90/x。x=30のとき：y=90/30=3時間
45分=0.75時間なので、短縮後の時間は 3−0.75=2.25時間（=9/4時間）
必要な速さ：90÷(9/4)=90×4/9=40km/h
17 比例と反比例の交点
3x = 12/x
両辺にxを掛ける：3x² = 12
x² = 4、xが正なので x = 2
y = 3×2 = 6
答え：(2, 6)
なぜ：交点はどちらのグラフの式も同時に満たす点。yを消去して1つの方程式にする。
18 比例の表の空欄と、グラフの説明
(1) x=3のときy=6なので、a=6÷3=2。y=2x
(2) ア：y=10のとき、10=2x → x=5
イ：x=9のとき、y=2×9=18（x=12でy=24になることでも確認できる）
(3) a=2>0なので、右上がりの直線。比例のグラフは必ず原点を通り、xとyが同符号（両方正、または両方負）になるので第1・第3象限を通る。正しい説明はa
なぜ：比例定数aの符号が、グラフが右上がりか右下がりかを決める。a>0なら右上がり（第1・第3象限）、a<0なら右下がり（第2・第4象限）になる。表の値から式が決まれば、実際に描かなくてもグラフの形は説明できる。
19 速さ・時間・道のり
(1) 道のりが一定（2400m）なので、速さxと時間yは反比例：xy=2400 → y=2400/x
(2) x=80のとき：y=2400÷80=30（分）
(3) (2)の30分の半分は15分。
毎分80mで15分：80×15=1200m
毎分160mで15分：160×15=2400m
道のりの差：2400−1200=1200（m）
なぜ：(1)(2)は「道のり一定」で速さと時間が反比例の関係。(3)は「時間一定（15分）」で道のりと速さが比例の関係になる。同じ速さ・時間・道のりの関係でも、どの量を固定するかによって比例になるか反比例になるかが変わる点がこの単元の核心。
⑧ 確認テスト 解説
1 比例、x=−4, y=8
a=8÷(−4)=−2
x=6のとき：y=−2×6=−12
2 反比例、x=5, y=−6
a=5×(−6)=−30
y=15のとき：15=−30/x → x=−2
3 反比例の表（x=3でy=8）
a=3×8=24、y=24/x
ア：y=6のとき x=24/6=4
イ：x=12のとき y=24/12=2
4 水を抜く時間
60÷5=12分後
5 歯車の歯数
18×20=360（一定）
360÷15=24（枚）
⑨ 完全解説
以上が第4章の全問題の解説です。歯車や水槽の問題は、実は「比例」「反比例」の考え方がそのまま使われています。身近な現象と結び付けて覚えましょう。
確認テストで80%以上取れたら、第5章「平面図形」に進みましょう。