数学 第5章
比例・反比例
問題編
式・表・グラフの往復
学力向上テクニック — 問題の使い方
- わからない問題には ×、あやしい問題には △ の印をつけ、あとで答えを見ずに解き直す。
- ⑤：計算・基本性質をタイマーなしで正確に
- ⑥：例題と同じ手順を自分の言葉で再現
- ⑦：条件整理・複合・記述。保留には印をつけて後で戻る
- ⑦は定期テスト後半〜実力テスト形式。途中の考え方も答案に残す。
- y=ax と y=a/x を式の形で見分ける。
- 表では y÷x と x×y のどちらが一定かを両方試す。
① 導入
比例・反比例は、2つの量 x と y の関係を式・表・グラフの3つで表す単元です。 この3つを自由に行き来できるようになると、この先の一次関数や理科の実験データの読み取りにも役立ちます。
比例は小学校の「倍」「単位量あたりの大きさ」「割合」と同じ考え方です。表を書いて、商や積が一定かを確かめる習慣を先につけましょう。
② 基本概念
座標
平面上の点の位置は、x軸方向の値とy軸方向の値の組 (x, y) で表します。これを座標といいます。
比例
y が x に比例するとき、y = ax（a ≠ 0）の形で表せます。a を比例定数といいます。
比例のグラフは、原点(0,0)を通る直線になります。
反比例
y が x に反比例するとき、y = a/x（a ≠ 0）の形で表せます。
反比例のグラフは、原点を通らない滑らかな曲線（双曲線）になります。
式の求め方
1組の (x, y) の値が分かれば、代入して比例定数 a を求められます。
③ 図解
y＝2x は原点を通る直線になる。
y＝12/x は双曲線で、原点には近づくが通らない。
④ 例題
y は x に比例し、x = 3 のとき y = 12 である。y を x の式で表しなさい。
上の式で、x = −5 のときの y の値を求めなさい。
y は x に反比例し、x = 4 のとき y = 6 である。y を x の式で表しなさい。
上の式で、x = −3 のときの y の値を求めなさい。
点 (2, −6) を通る比例のグラフの式を求めなさい。
⑤ 基本問題
まず小学校の復習を4問。速さ・割合・比例の入口です。
【小学校の復習】60kmの道のりを、時速20kmで進むと何時間かかるか。
【小学校の復習】40人のクラスで10人が眼鏡をかけている。眼鏡をかけている人の割合は何%か。
【小学校の復習】120円のノートを4冊買ったときの合計金額はいくらか。
【小学校の復習】時速40kmで2.5時間走ると、何km進むか。
y = 5x で、x = 3 のとき y の値は？
y = 5x で、y = −20 のとき x の値は？
y = −2x で、x = −6 のとき y の値は？
y が x に比例し、x = 2 のとき y = −8 である。比例定数を求めよ。
y = 12/x で、x = 3 のとき y の値は？
y = 12/x で、y = −2 のとき x の値は？
次のうち、y が x に反比例するものを選べ。
点 (−3, 9) を通る比例のグラフの式を選べ。
y = −4x で、x = −5 のとき y の値は？
y = 36/x で、y = −9 のとき x の値は？
⑥ 標準問題
y は x に比例し、x = −2 のとき y = 10 である。x = 7 のときの y の値を求めよ。
答え：
y は x に反比例し、x = −6 のとき y = −3 である。x = 2 のときの y の値を求めよ。
答え：
次の表は、y が x に比例する関係を表している。空欄をうめよ。
| x | −4 | 2 | 6 |
|---|---|---|---|
| y | ア | 6 | イ |
ア：
イ：
次の表は、y が x に反比例する関係を表している。空欄をうめよ。
| x | 2 | 4 | 8 |
|---|---|---|---|
| y | 24 | ア | イ |
ア：
イ：
点 (4, −8) を通る反比例のグラフの式を求め、x = −2 のときの y の値も求めよ。
式：
x=−2のときのy：
y は x に比例し、x = 5 のとき y = −15 である。x = −4 のときの y の値を求めよ。
答え：
y は x に反比例し、x = 8 のとき y = −3 である。x = −6 のときの y の値を求めよ。
答え：
次の表は、y が x に比例する関係を表している。空欄をうめよ。
| x | −3 | 1 | 6 |
|---|---|---|---|
| y | ア | −4 | イ |
ア：
イ：
次の表は、y が x に反比例する関係を表している。空欄をうめよ。
| x | −4 | 2 | 8 |
|---|---|---|---|
| y | 6 | ア | イ |
ア：
イ：
点 (−5, 10) を通る比例のグラフの式を求め、x = 3 のときの y の値も求めよ。
式：
x=3のときのy：
⑦ 応用・実力テスト形式
空の水槽に、毎分3Lの割合で水を入れる。水を入れ始めてから x 分後の水の量を y L とする。 次の(1)〜(3)に答えよ。
(1) y を x の式で表せ。
(2) 水が45Lになるのは何分後か求めよ。
(3) (1)の式が比例になる理由を、1分あたりの増え方に結び付けて説明せよ。
歯数24の歯車Aと歯数 x の歯車Bがかみ合って回転している。Aが1分間に10回転するとき、 歯数×回転数は一定になる。歯数24のBの歯数がxのとき、xが16である歯車Bの1分間の回転数を求めよ。
答え（回転）：
90kmの道のりを走る自動車の走行時間 y 時間は、速さ x km/h に反比例する。 速さが時速30kmのときの時間 y を求めよ。また、時間を45分短縮するには、速さを何km/hにすればよいか。
時速30kmのときの時間（時間）：
必要な速さ（km/h）：
下の図のように、比例 y = 3x と反比例 y = 12/x のグラフが交わる点のうち、x が正である点の座標を求めよ。
答え（座標）：
作問定規：⑤はドリル、⑥は例題1〜2段、⑦は定期テスト後半の複合・記述。
下の表は、y が x に比例する関係を表しているが、一部の値が分からなくなっている。
| x | 3 | ア | 9 | 12 |
|---|---|---|---|---|
| y | 6 | 10 | イ | 24 |
(1) この関係を y = ax の形で表せ（比例定数 a を求めよ）。
(2) 表のア、イに当てはまる数をそれぞれ求めよ。
ア：
イ：
(3) この関係のグラフについて、正しく説明しているものを選べ。
Aさんの家から駅までの道のりは2400mで一定である。歩く速さを x m/分、かかる時間を y 分とする。
(1) y を x の式で表せ。
(2) 毎分80mの速さで歩くときにかかる時間を求めよ。
(3) (2)で求めた時間の半分の時間だけ、毎分80mの速さと毎分160mの速さでそれぞれ歩いたとき、 進む道のりの差は何mになるか求めよ（道のりは速さに比例することを用いる。式と理由を書け）。
答え（m）：
⑧ 確認テスト
制限時間：25分 ／ 満点：100点（各20点×5問）
y は x に比例し、x = −4 のとき y = 8 である。比例定数と、x = 6 のときの y の値を求めよ。
比例定数：
x=6のときのy：
y は x に反比例し、x = 5 のとき y = −6 である。反比例定数 a と、y = 15 のときの x の値を求めよ。
反比例定数a：
y=15のときのx：
次の表は、y が x に反比例する関係を表している。空欄をうめよ。
| x | 3 | ア | 12 |
|---|---|---|---|
| y | 8 | 6 | イ |
ア：
イ：
60Lの水が入った水槽から、毎分5Lずつ水を抜いていく。水がなくなるのは何分後か求めよ。
歯数18の歯車が1分間に20回転するとき、これにかみ合う歯車は1分間に15回転する。 この歯車の歯数を求めよ。
答え（枚）：
⑨ 完全解説
問題編の解答・解説は解説編を参照してください。
比例と反比例は、表を書いてxとyの積・商のどちらが一定かを確かめると、式を決める手がかりになります。