数学第4章

比例・反比例

問題編

式・表・グラフの往復

① 導入

比例・反比例は、2つの量 x と y の関係を式・表・グラフの3つで表す単元です。この3つを自由に行き来できるようになると、この先の一次関数や理科の実験データの読み取りにも役立ちます。

小学校の橋渡し

比例は小学校の「倍」「単位量あたりの大きさ」「割合」と同じ考え方です。表を書いて、商や積が一定かを確かめる習慣を先につけましょう。

② 基本概念

座標

平面上の点の位置は、x軸方向の値とy軸方向の値の組 (x, y) で表します。これを座標といいます。

比例

y が x に比例するとき、y = ax（a ≠ 0）の形で表せます。a を比例定数といいます。

y = ax　　xが2倍、3倍になると、yも2倍、3倍になる

比例のグラフは、原点(0,0)を通る直線になります。

反比例

y が x に反比例するとき、y = a/x（a ≠ 0）の形で表せます。

y = a/x　　xy = a（一定）　　xが2倍になると、yは1/2になる

反比例のグラフは、原点を通らない滑らかな曲線（双曲線）になります。

式の求め方

1組の (x, y) の値が分かれば、代入して比例定数 a を求められます。

比例：a = y ÷ x　　　反比例：a = x × y

③ 図解

比例のグラフ（y = 2x）

     y
     │      ／ y=2x
     │    ／
     │  ／
     │／
  ───┼──────── x
     │
   原点を通る直線。aが大きいほど傾きが急になる。

反比例のグラフ（y = 12/x）

     y
     │＼
     │  ＼
     │    ＼___
  ───┼──────────── x
     │        ＿／
     │      ／
     │    ／
   x>0とx<0にそれぞれ枝分かれした曲線（双曲線）

④ 例題

例1

y は x に比例し、x = 3 のとき y = 12 である。y を x の式で表しなさい。

例2

上の式で、x = −5 のときの y の値を求めなさい。

例3

y は x に反比例し、x = 4 のとき y = 6 である。y を x の式で表しなさい。

例4

上の式で、x = −3 のときの y の値を求めなさい。

例5

点 (2, −6) を通る比例のグラフの式を求めなさい。

⑤ 基本問題

まず小学校の復習を2問。速さ・割合の基本です。

復習1

60kmの道のりを、時速20kmで進むと何時間かかるか。

復習2

40人のクラスで10人が眼鏡をかけている。眼鏡をかけている人の割合は何%か。

y = 5x で、x = 3 のとき y の値は？

y = 5x で、y = −20 のとき x の値は？

y = −2x で、x = −6 のとき y の値は？

y が x に比例し、x = 2 のとき y = −8 である。比例定数を求めよ。

y = 12/x で、x = 3 のとき y の値は？

y = 12/x で、y = −2 のとき x の値は？

次のうち、y が x に反比例するものを選べ。

点 (−3, 9) を通る比例のグラフの式を選べ。

⑥ 標準問題

y は x に比例し、x = −2 のとき y = 10 である。x = 7 のときの y の値を求めよ。

答え：

y は x に反比例し、x = −6 のとき y = −3 である。x = 2 のときの y の値を求めよ。

答え：

次の表は、y が x に比例する関係を表している。空欄をうめよ。

x	−4	2	6
y	ア	6	イ

ア：

イ：

次の表は、y が x に反比例する関係を表している。空欄をうめよ。

x	2	4	8
y	24	ア	イ

ア：

イ：

点 (4, −8) を通る反比例のグラフの式を求め、x = −2 のときの y の値も求めよ。

式：

x=−2のときのy：

⑦ 応用・実力テスト形式

空の水槽に、毎分3Lの割合で水を入れる。水を入れ始めてから x 分後の水の量を y L とする。 y を x の式で表せ。また、水が45Lになるのは何分後か求めよ。

式：

45Lになる時間（分）：

歯数24の歯車Aと歯数 x の歯車Bがかみ合って回転している。Aが1分間に10回転するとき、歯数×回転数は一定になる。歯数24のBの歯数がxのとき、xが16である歯車Bの1分間の回転数を求めよ。

答え（回転）：

90kmの道のりを走る自動車の走行時間 y 時間は、速さ x km/h に反比例する。速さが時速30kmのときの時間 y を求めよ。また、時間を45分短縮するには、速さを何km/hにすればよいか。

時速30kmのときの時間（時間）：

必要な速さ（km/h）：

比例 y = 3x と反比例 y = 12/x のグラフが交わる点のうち、x が正である点の座標を求めよ。

答え（座標）：

作問定規：⑤はドリル、⑥は例題1〜2段、⑦は定期テスト後半の複合・記述。

下の表は、y が x に比例する関係を表しているが、一部の値が分からなくなっている。

x	3	ア	9	12
y	6	10	イ	24

(1) この関係を y = ax の形で表せ（比例定数 a を求めよ）。

(2) 表のア、イに当てはまる数をそれぞれ求めよ。

ア：

イ：

(3) この関係のグラフについて、正しく説明しているものを選べ。

Aさんの家から駅までの道のりは2400mで一定である。歩く速さを x m/分、かかる時間を y 分とする。

(1) y を x の式で表せ。

(2) 毎分80mの速さで歩くときにかかる時間を求めよ。

(3) (2)で求めた時間の半分の時間だけ、毎分80mの速さと毎分160mの速さでそれぞれ歩いたとき、進む道のりの差は何mになるか求めよ（道のりは速さに比例することを用いる。式と理由を書け）。

答え（m）：

⑧ 確認テスト

制限時間：25分　／　満点：100点（各20点×5問）

y は x に比例し、x = −4 のとき y = 8 である。比例定数と、x = 6 のときの y の値を求めよ。

比例定数：

x=6のときのy：

y は x に反比例し、x = 5 のとき y = −6 である。反比例定数 a と、y = 15 のときの x の値を求めよ。

反比例定数a：

y=15のときのx：

次の表は、y が x に反比例する関係を表している。空欄をうめよ。

x	3	ア	12
y	8	6	イ

ア：

イ：

60Lの水が入った水槽から、毎分5Lずつ水を抜いていく。水がなくなるのは何分後か求めよ。

歯数18の歯車が1分間に20回転するとき、これにかみ合う歯車は1分間に15回転する。この歯車の歯数を求めよ。

答え（枚）：

⑨ 完全解説

問題編の解答・解説は解説編を参照してください。

比例と反比例は、表を書いてxとyの積・商のどちらが一定かを確かめると、式を決める手がかりになります。