数学 第2章
文字式
解説編
文字を使った式の表し方と計算
① 導入
この解説編では、問題編のすべての問題について途中式を省略せず解説します。特に代入の問題は、負の数を（）で囲む書き方を必ず確認してください。
② 基本概念
問題編の基本概念を参照してください。同類項の判定（文字の部分が完全に同じか）と、分配法則で括弧を外すときの符号処理が最重要です。
③ 図解
問題編の図解を参照してください。
④ 例題 解説
例1 りんごx個・みかんy個の合計金額
りんごの金額：150 × x = 150x（円）
みかんの金額：90 × y = 90y（円）
答え：150x + 90y（円）
例2 a × (−4) × b
数どうしをまとめて先に書き、×を省略する
答え：−4ab
例3 x=−3、2x²−5x
2×(−3)² − 5×(−3)
= 2×9 − (−15)
= 18 + 15 = 33
なぜ：(−3)²=9であり、−3²=−9ではない。代入するときは（−3）と括弧をつけて2乗する。
例4 3(2a−1) − 2(a−3)
= 6a − 3 − 2a + 6
= (6a−2a) + (−3+6)
答え：4a + 3
例5 −12xy² ÷ 3xy
= −12xy² / 3xy
係数：−12/3=−4、文字：xy²/xy=y
答え：−4y
⑤ 基本問題 解説
復習1 8×5=40cm²
復習2 □+3=11 → □=8
1 (−3x)×4 = −12x
2 8a÷(−2) = −4a
3 5x−8+2x+3 = 7x−5
4 −(2x−5) = −2x+5（括弧内の両方の符号が変わる）
5 x=4、3x−7 = 12−7 = 5
6 同類項の判定
x²の項：3x², 2x², −x²（これらは同類項）
xの項：−5x, x（別グループ、これも同類項）
7は定数項で単独
3x², 2x², −x² が同類項（a, c, f）
7 6x+2y−3x+5y = 3x+7y
8 −4(x−2y) = −4x+8y
⑥ 標準問題 解説
9 2/3 x − 1/2 x
通分：4/6 x − 3/6 x
答え：1/6 x
10 3(x−2y) − 2(2x−y)
= 3x−6y−4x+2y
答え：−x−4y
11 x=−2, y=3、x²−2xy+y²
x² = (−2)² = 4
2xy = 2×(−2)×3 = −12、−2xy = +12
y² = 9
4 + 12 + 9 = 25
12 −18a²b ÷ 6ab
係数：−18/6=−3、文字：a²b/ab=a
答え：−3a
13 5x²−3x+7
項は 5x², −3x, 7 の 3個
xの係数は −3
⑦ 応用・実力テスト形式 解説
14 2桁の整数と入れ替えた数の和
もとの数：10a + b
入れ替えた数：10b + a
和：(10a+b) + (10b+a) = 11a + 11b = 11(a+b)
a+bは整数なので、11(a+b)は必ず11の倍数になる
なぜ：文字式を使うと、a, bが何であっても成り立つことを一般的に説明できる。これが文字式の最大の利点。
15 正方形をn個並べた長方形の周
横の長さ：nx cm、縦の長さ：x cm
周の長さ = 2 × (横+縦) = 2(nx + x) = 2x(n+1)
答え：2x(n+1) cm
16 パンとジュースのお釣り
パン4個：4a円、ジュース2本：2b円
y = 1000 − 4a − 2b
a=120, b=150のとき：4×120=480、2×150=300
y = 1000 − 480 − 300 = 220（円）
17 連続する3整数の和が3の倍数
真ん中の整数をxとすると、3つの整数はx−1, x, x+1
和 = (x−1) + x + (x+1) = 3x
3xは3×(整数)の形なので、つねに3の倍数になる
なぜ：具体的な数で試すだけでは「いつも成り立つ」ことを保証できない。文字式で表すことで一般的な証明になる。
18 母と子の年齢
(1) 母の年齢 = 子の年齢 × a = ab（歳）
(2) a=3, b=12 のとき：ab = 3×12 = 36（歳）
(3) 年齢の差 = ab − b = b(a−1)（歳）
なぜ：bは年齢なので必ず正の数。a>1のとき a−1>0 となるので、正の数×正の数＝正の数より、差 b(a−1) はつねに正になる。これは「母が子より年上である」ことを文字式で説明したものである。
19 L字形の図形の周と面積
(1) 周の長さ：もとの長方形（縦2a、横3a）の周と同じ長さになる。
2×(2a+3a) = 2×5a = 10a（cm）
(2) 面積：大きい長方形の面積 − 切り取った正方形の面積
2a×3a − a×a = 6a² − a² = 5a²（cm²）
(3) a=5のとき：周 = 10×5 = 50（cm）、面積 = 5×5² = 5×25 = 125（cm²）
なぜ：隅の正方形を切り取ると、なくなった2辺（それぞれa）の代わりに、切り込みの2辺（それぞれa）が新しくできる。移動しただけで長さの合計は変わらないので、周の長さはもとの長方形と同じになる。面積は逆に、切り取った分だけ確実に減る。
⑧ 確認テスト 解説
1 −5x+8−(−3x)+(−2)
= −5x+8+3x−2 = −2x+6
2 x=−1/2、4x²−6x
x² = 1/4、4x² = 1
−6x = −6×(−1/2) = 3
1 + 3 = 4
3 15xy ÷ (−5x) × 2y
左から順に：15xy ÷ (−5x) = −3y
−3y × 2y = −6y²
なぜ：÷と×が混在する式は、左から順に処理する。÷の後をまとめて先に計算しない。
4 縦a, 横(a+3)の長方形の周
周 = 2 × (a + a+3) = 2(2a+3) = 4a+6
5 りんごの個数
3人で分けて1人a個、2個余るので、全体は 3×a + 2 = 3a+2（個）
⑨ 完全解説
以上が第2章の全問題の解説です。文字式の証明問題（14, 17）は、答えを覚えるより「なぜ一般的に成り立つか」を自分の言葉で説明できることが目標です。
確認テストで80%以上取れたら、第3章「1次方程式」に進みましょう。