数学 第3章
1次方程式
解説編
移項・等式の性質・文章題
① 導入
この解説編では、問題編のすべての問題について途中式を省略せず解説します。文章題は「何をxとおいたか」を必ず確認しながら読んでください。
② 基本概念
問題編の基本概念を参照してください。移項・分数や小数の処理・比例式の3つが計算の核になります。
③ 図解
問題編の図解を参照してください。
④ 例題 解説
例1 3x − 5 = 10
3x = 10 + 5 = 15
x = 5
例2 4x + 3 = 2x − 7
4x − 2x = −7 − 3
2x = −10
x = −5
例3 2(x − 3) = 3x − 8
2x − 6 = 3x − 8
2x − 3x = −8 + 6
−x = −2
x = 2
例4 x/3 − 1 = x/4
両辺に12を掛ける：4x − 12 = 3x
4x − 3x = 12
x = 12
例5 x : 6 = 4 : 3
内側の積＝外側の積：3x = 6×4 = 24
x = 8
⑤ 基本問題 解説
復習1 □×4=28 → □=28÷4=7
復習2 120×3=360円
1 x+7=12 → x=5
2 x−4=−9 → x=−5
3 5x=35 → x=7
4 x/4=−3 → x=−12
5 3x+2=17 → 3x=15 → x=5
6 5x−8=2x+7
3x=15 → x=5
7 −2x+3=11
−2x=8 → x=−4（a）
8 4(x−1)=2x+6
4x−4=2x+6 → 2x=10 → x=5
⑥ 標準問題 解説
9 0.3x−0.5=0.1x+0.3
両辺×10：3x−5=x+3
2x=8 → x=4
10 2/3 x−1=1/2 x+2
両辺×6：4x−6=3x+12
x = 18
11 3(2x−1)−5=2(x+4)
6x−3−5=2x+8
6x−8=2x+8
4x=16 → x=4
12 x:12=5:6
6x=12×5=60 → x=10
13 3x+4=5(x−2)
3x+4=5x−10
4+10=5x−3x
14=2x → x=7
検算：3×7+4=25、5×(7−2)=25 ✓
⑦ 応用・実力テスト形式 解説
14 歩く・自転車の時間
道のり = 60 × 15 = 900（m）
自転車の時間 = 900 ÷ 150 = 6分
なぜ：道のりが変わらないことを利用する。方程式を使わなくても解けるが、時間をxとおいて150x=900としても同じ結果になる。
15 父と子の年齢
子の現在の年齢をxとすると、父は4x
8年後：子はx+8、父は4x+8
4x+8 = 3(x+8)
4x+8 = 3x+24
x = 16（歳）
検算：現在子16歳・父64歳。8年後子24歳・父72歳。72=3×24 ✓
16 お金の分配
全体をx円とする。A = x/3 + 500、B = x/4、C = 2400
A + B + C = x より
x/3 + 500 + x/4 + 2400 = x
両辺×12：4x + 6000 + 3x + 28800 = 12x
7x + 34800 = 12x
34800 = 5x
x = 6960（円）
検算：A=6960/3+500=2820、B=6960/4=1740、C=2400。合計2820+1740+2400=6960 ✓
17 仕入れ値の問題
仕入れ値をx円とすると、定価は1.25x円
定価の10%引き：1.25x × 0.9 = 990
1.125x = 990
x = 880（円）
検算：880×1.25=1100（定価）、1100×0.9=990 ✓
18 AさんとBさんの仕事
全体の仕事量を1とすると、Aの1日の仕事量は1/10、Bの1日の仕事量は1/15
Aが4日で行った仕事量：4×1/10 = 4/10 = 2/5
Bがx日で行う仕事量：x×1/15 = x/15
2つを合わせて全体になるので：2/5 + x/15 = 1
両辺に15を掛ける：6 + x = 15
x = 9（日）
なぜ：仕事全体を「1」とおくのが仕事算の基本。1日あたりにできる仕事の割合（仕事の速さ）を足し算・引き算できる点が、速さの文章題と同じ考え方。検算：Aの分2/5とBの分9/15=3/5を足すと2/5+3/5=1で全体に一致する。
19 500円硬貨と100円硬貨
(1) 100円硬貨の枚数：24−x（枚）
方程式：500x + 100(24−x) = 5600
(2) 500x + 2400 − 100x = 5600
400x = 3200
x = 8（枚）
(3) 500円硬貨8枚 → 500×8=4000円。100円硬貨は24−8=16枚 → 100×16=1600円。
合計：4000+1600 = 5600円（問題の合計金額と一致）
なぜ：枚数と金額という2つの条件を、片方の文字（100円硬貨の枚数）をxで表すことで1つの式にまとめている。これが「条件が2つでも文字は1つ」で解ける方程式のつくり方。
⑧ 確認テスト 解説
1 5x−3=2x+12 → 3x=15 → x=5
2 0.4(x−3)=0.2x+1
両辺×10：4(x−3)=2x+10
4x−12=2x+10
2x=22 → x=11
3 3/4 x−2=1/2 x+1
両辺×4：3x−8=2x+4
x=12
4 兄弟の年齢
弟の現在の年齢をxとすると、兄はx+4
5年後：兄はx+9、弟はx+5
x+9 = 1.5(x+5)
x+9 = 1.5x+7.5
1.5 = 0.5x → x=3（歳）
検算：5年後兄12歳・弟8歳。12=1.5×8 ✓
5 5x−3=2(x+9)
5x−3=2x+18
3x=21 → x=7
⑨ 完全解説
以上が第3章の全問題の解説です。文章題は、最後に必ず「求めた数を元の文章に戻して確認する」検算を行いましょう。
確認テストで80%以上取れたら、第4章「比例・反比例」に進みましょう。